aufgabe 42 a bis c sind meine Lösungen richtig?

Question

Text erkannt:

\( 00: 47 \)
2. Lagebeziehungen
42. Untersuchen Sie, welche gegenseitige Lage die Ebenen \( \mathrm{E}_{1} \) und \( \mathrm{E}_{2} \) einnehmen.
a) \( E_{1}: 2 x+y+z=6 \quad E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}2 \\ 0 \\ -3\end{array}\right) \)
b) \( E_{1}: x-y+z=2 \quad E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}7 \\ 1 \\ -4\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)
c) \( E_{1}: 2 x-5 y-5 z=8 \quad E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}0 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}5 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} \text { a) } E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) \\ E_{1}: 2 x+y+z=6 \\ \{: 2(-2+r+4 s)+(-2+r)+(3+3 s)=6 \\ -4+2 r+2 s-2+r+3-3 s=6 \\ 3 r+s-3 \cdot=61-3 \\ x+s=31: 3 \\ r+s=1 \\ r=1-s \\ =\left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right)-r\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right)-r\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \end{array} \)
b)
\( \operatorname{tz} \vec{x}^{3}=\left(\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+5\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} E_{1}: x-y+z=2 \\ E:(7+r+5)-(1+r)+(-4-1) \\ s+1=2 \quad 1-1 \\ 5=-1 \\ =\left(\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)-1\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ -3 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \end{array} \)

Text erkannt:

c) \( \varepsilon_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}5 \\ 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}5 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \)
\( \begin{array}{c} E_{1}=2 x-5 y-5 z=8 \\ \text { E: } 2(0+5 r+55)-5(-7+r+25)-5(-1+r)=8 \\ 10=8 \end{array} \)
nicht identarch

Kann mir jemand sagen, ob meine Lösungen richtig sind?

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

a) bis dahin richtig:

\(3r+s-3=6\)

Danach einmal die Umformungen anschauen. Bei Division müssen alle Summanden dividiert werden!

Bei b) Fehler beim einsetzen: in der Klammer ganz rechts muss \(-s\) stehen. Auch das nochmal prüfen.

c) ist in Ordnung. Wenn sie nicht identisch sind, dann?

Answer 2

a)
2·(-2 + r + 2·s) + (-2 + r) + (3 - 3·s) = 6 → s = 9 - 3·r → Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden

b)
(7 + r + s) - (1 + r) + (-4 - s) = 2 → immer wahr → Die Ebenen sind identisch

c)
2·(5·r + 5·s) - 5·(-1 + r + 2·s) - 5·(-1 + r) = 8 → immer falsch → Die Ebenen sind parallel.