Question

Ist f: ℂ → ℂ, z↦|z| eine lineare Abbildung?

Kann mir jemand vielleicht erklären wie ich das feststellen kann ?

Mich verwirrt dass z auf den Betrag von z abbildet.

Answer 1

Ist denn \(f(-z)=-f(z)\) ?

Answer 2

Du musst zeigen, dass für beliebige komölexe Zahlen y,z gilt:

1. f(y + z) = f(y) + f(z)

Also Iy + zI = IyI + IzI

und 2. für ein Skalar r

f(r*z) = r*f(z)

Ir*zI = r*IzI

Spoiler: Ist keine lineare Abb., denn:

seien y=5 und z=-6

f(5-6)=f(-1)=1

und f(5)+f(-6)= 5+6=11,

heißt, f(y+z) ist hier nicht immer gleich f(y)+f(z) und da dieses Axiom nicht erfüllt worden ist, ist die Abbildung nicht linear.

Wenn solch eine Aussage kommt, aber falsch ist, brauchst du lediglich ein Gegenbeispiel zu finden, so wie ich es hier gemacht habe.