Question

Betrachten Sie die Abbildung f: (ℂ,+)→(ℝ,+) mit f(x+iy) = x-y

Zeigen Sie, dass f ein Homomorphismus ist

Answer 1

Um zu zeigen dass f ein Homomorphismus ist, muss man zeigen dass $$f(a+b)=f(a)+f(b), \ a,b\in \mathbb{C}$$

Answer 2

es gilt

\( f(x+iy + a + bi) \)

\( = f(x+a + i(y+b)) \)

\( = x+a - (y+b) \)

\( = x-y + a-b \)

\( = f(x+iy) + f(a + ib) \).

Man sieht: \( f(z_1 + z_2) = f(z_1) + f(z_2) \) für alle \( z_1, z_2 \in \mathbb{C} \).

\( f \) ist also ein Homomorphismus.

Mister

Comments

Habe das soweit verstanden, außer diesen Schritt:

= f (x+a+i(y+b))

= x + a - (y+b)

Was passiert hier?

Ich denke ja i wäre ✓(-1), warum wird hier also quasi nur ein -1 draus?

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Dies liegt daran, dass die Abbildung \( f \) so definiert ist:

\( f(u + iv) = u - v \).

\( u \) ist der Realteil der komplexen Zahl \( z = u + iv \) und \( v \) ist ihr Imaginärteil.

Im obigen Teil ist \( x + a \) der Realteil der komplexen Zahl \( x + a + i(y + b) \) und \( y + b \) ihr Imaginärteil.

Folglich ist

\( f(x+a + i(y+b)) = x + a - (y+b) \).