Question

Betrachten Sie die Abbildung f: (ℂ,+)→(ℝ,+) mit f(x+iy) = x-y

Zeigen Sie, dass f ein Homomorphismus ist

Answer 1

Um zu zeigen dass f ein Homomorphismus ist, muss man zeigen dass $$f(a+b)=f(a)+f(b), \ a,b\in \mathbb{C}$$

Answer 2

es gilt

$f(x+iy + a + bi)$

$= f(x+a + i(y+b))$

$= x+a - (y+b)$

$= x-y + a-b$

$= f(x+iy) + f(a + ib)$.

Man sieht: $f(z_1 + z_2) = f(z_1) + f(z_2)$ für alle $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$.

$f$ ist also ein Homomorphismus.

Mister

Comments

Habe das soweit verstanden, außer diesen Schritt:

= f (x+a+i(y+b))

= x + a - (y+b)

Was passiert hier?

Ich denke ja i wäre ✓(-1), warum wird hier also quasi nur ein -1 draus?

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Dies liegt daran, dass die Abbildung $f$ so definiert ist:

$f(u + iv) = u - v$.

$u$ ist der Realteil der komplexen Zahl $z = u + iv$ und $v$ ist ihr Imaginärteil.

Im obigen Teil ist $x + a$ der Realteil der komplexen Zahl $x + a + i(y + b)$ und $y + b$ ihr Imaginärteil.

Folglich ist

$f(x+a + i(y+b)) = x + a - (y+b)$.