Aloha :)
Wir rechnen die linearen Abhängigkeiten aus den Vektoren mittels linerarer Spalten-Operationen soweit wie möglich raus. Unser Ziel ist es, möglichst viele Nullspalten zu erzeigen:
$$\begin{array}{rrrr}+2S_2 & \colon2 &&-S_2\\\hline-8 & 4 & 0 & 4\\-3 & -2 & 3 & 1\\0 & -4 & 8 & 4\end{array}\to\begin{array}{rrrr} +S_3 & & & -S_3\\\hline0 & 2 & 0 & 0\\-7 & -1 & 3 & 3\\-8 & -2 & 8 & 8\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \colon(-4) & & & \\\hline0 & 2 & 0 & 0\\-4 & -1 & 3 & 0\\0 & -2 & 8 & 0\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrr} & +S_1& -3S_1& \\\hline0 & 2 & 0 & 0\\1 & -1 & 3 & 0\\0 & -2 & 8 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & \colon2 & \colon8& \\\hline0 & 2 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & -2 & 8 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & +S_3 & & \\\hline0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 0\end{array}\to\begin{array}{rrrr} & & & \\\hline0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$
zu a) Wir haben eine Nullspalte erhalten, also konnten wir einen der Vektoren rausrechnen, d.h. einer der Vektoren lässt sich durch die drei anderen ausdrücken. Die Vektoren sind linear abhängig.
zu b) Die Vektoren bilden keine Basis des \(\mathbb R^3\), weil eine Basis stets nur linear unabhängige Vektoren entält.
zu c) Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des \(\mathbb R^3\), denn die berechnete Ersatzbasis enthält alle drei Basis-Vektoren der Standarbasis des \(\mathbb R^3\).
