Körper berechnen im Stellenwertsystem 5

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den Körper \( \left(\mathbb{Z}_{5},+5, \cdot 5,(-\cdot), \cdot-1,[0],[1]\right) \) und rechnen nachfolgend nur in diesem Körper.
(a) Für \( n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \) und \( x \in \mathbb{Z}_{5} \) sei wie üblich
\( x^{n}=\underbrace{x \cdot 5 x \cdot 5 \ldots \cdot 5 x}_{n \text { Faktoren }} \)
Bestimmen Sie nachvollziehbar die Zahl \( a \in\{0, \ldots, 4\} \) mit \( [a]=[4]^{42} \)

(b) Berechnen Sie in nachvollziehbarer Weise die folgende Polynomdivision. Verwenden Sie für das Ergebnis Koeffizienten mit Repräsentanten aus \( \{0, \ldots, 4\} \). Hinweis: Für \( a \in \mathbb{Z} \) dürfen Sie die Äquivalenzklasse \( [a] \) abkürzend als \( a \) schreiben.
\( \left(x^{3}+[2]\right):([3] x+[4])= \)

Problem/Ansatz:

Hallo, leider weiß ich nicht, wie ich diese Aufgabe berechnen soll. Ich weiß, in welchen Stellenwertsystem ich rechnen muss. Aber was bedeuten diese ganzen Zeichen hinter ℤ und wie sehen die Rechenwege aus.

Danke schonmal im Voraus

Answer 1

Was für ein grauenhaftes Gedöns! Es handelt sich einfach
um den Restklassenkörper mod 5.

a) In diesem gilt z.B. \(4=-1\), also \(4^{42}=(-1)^{42}=((-1)^2)^{21}=1^{21}=1\)

Zu b):

Mache wie üblich eine Polynomdivision. Dabei rechne modulo 5.
Insbesondere nutze \(2^{-1}=3,\;\; 3^{-1}=2, \;\; 4^{-1}=(-1)^{-1}=-1=4\).

Warum du immer vom Stellenwertsystem sprichst, ist mir nicht klar.
Ich vermute aber, dass du damit meinst, man solle im 5-er-System rechnen,
aber als Ergebnisse jeweils nur die "Einerstelle" hinschreiben, also
z.B. so:

\(3\cdot 3=9=4+1\cdot 5\), Einerstelle ist \(=4\).