Aloha :)
Leider hast du die Indizes und Exponenten nicht tief- bzw. hochgestellt. Meine Glaskugel sagt mir jedoch, dass die Produktionsfunktion wie folgt lautet:$$F(x;y)=8x^2+77xy+8y^2\stackrel!=7097$$Sie soll gleich \(7097\) sein und liefert uns so eine konstante Nebenbedingung zur Optimierung der Kostenfunktion:$$K(x;y)=90x+84y\to\text{Minimum}$$
Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, bedeutet dies:$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)\implies\binom{90}{84}=\lambda\binom{16x+77y}{77x+16y}$$Wir dividieren die Gleichung der ersten Koordinate durch die der zweiten Koordinate, damit der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) wegfällt:$$\frac{90}{84}=\frac{\cancel\lambda\cdot(16x+77y)}{\cancel\lambda\cdot(77x+16y)}\implies90(77x+16y)=84(16x+77y)\implies y=\frac{931}{838}\,x$$
Diese Forderung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$7097=8x^2+77x\cdot\frac{931}{838}\,x+8\left(\frac{931}{838}\,x\right)^2\approx103,41953x^2\implies x\approx8,283924$$Die negative Lösung fällt weg, da eine Lösung mit \(x>0\) gesucht ist.
Für das entsprechende \(y\) finden wir:$$y=\frac{931}{838}\cdot8,283924\approx9,203262$$Die Kosten in diesem Extermum betragen \(K_{ext}=1518,63\,\mathrm{GE}\).
