Aloha :)
Hier geht es darum, eine Funktion \(g(K;L)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(F(K;L)=\text{const}\) zu optimieren. Dabei sind:$$g(K;L)=39K+21L\quad;\quad F(K;L)=KL^2\stackrel!=390$$Nach Lagrange muss im Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}g=\lambda\cdot\operatorname{grad}F\quad\implies\quad\binom{39}{21}=\lambda\binom{L^2}{2KL}$$Wir dividieren die Gleichung der ersten Koordinate durch diejenige der zweiten Koordinate:$$\frac{39}{21}=\frac{\lambda\,L^2}{\lambda\,2KL}=\frac{L}{2K}\implies L=\frac{78}{21}\,K$$Damit sind wir fertig und können alle Fragen beantworten:
zu a) Das Faktoreneinsatzverhältnis \(K\) zu \(L\) beträgt:$$\frac{K}{L}=\frac{21}{78}$$
zu b) Die Menge des Inputfaktors L erhalten wir durch Einsetzen in die Nebenbedingung:$$390=KL^2=\left(\frac{21}{78}L\right)\cdot L^2=\frac{21}{78}L^3\implies L=\sqrt[3]{390\cdot\frac{78}{21}}\approx11,3148$$
zu c) Die Menge des Inputfaktors K erhalten wir wieder aus der Nebenbedingung:$$K=\frac{390}{L^2}=\frac{390}{11,3148^2}\approx3,0463$$
zu d) Den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) erhalten wir aus der ersten Koordinate der Gradientengleichung:$$\lambda=\frac{39}{L^2}=\frac{39}{11,3148^2}\approx0,3046$$
zu e) Hier müssen wir die Werte für \(K\) und \(L\) in die Kostenfunktion einsetzen:$$g(3,0463;11,3148)=356,42$$
