H-Methode Ableitungsfunktion rechnerisch

Question

Aufgabe:

f(x)=3/x^4

Problem/Ansatz:

Ableitungsfunktion rechnerisch ermitteln mit H-Methode

Answer 1

Hallo Rafin,

die Gleichung für die H-Methode kennst Du doch - oder?$$f'(x)= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$Nun setzt man die Funktion \(f(x)=3/x^4\) ein ... und dann noch etwas Umstellen:$$\begin{aligned} f'(x)&= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{\frac 3{(x+h)^4} - \frac 3{x^4}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{\frac {3x^4}{x^4(x+h)^4} - \frac {3(x+h)^4}{x^4(x+h)^4}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{\frac {3x^4-3(x+h)^4}{x^4(x+h)^4}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{3x^4-3(x+h)^4}{x^4(x+h)^4h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{3x^4-3(x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4)}{x^4(x+h)^4h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{3x^4-3x^4-12x^3h-18x^2h^2-12xh^3-3h^4}{x^4(x+h)^4h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{-12x^3h-18x^2h^2-12xh^3-3h^4}{x^4(x+h)^4h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty} \frac{-12x^3-18x^2h-12xh^2-3h^3}{x^4(x+h)^4} \\ &= \frac{-12x^3}{x^4x^4} \\ &= \frac{-12}{x^5} \\ \end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

Sehr schön, Werner. Mustergültig! Damit kann man sofort etwas anfangen. :)

Mit dem Rechnen haben viele Probleme.

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Hallo Werner, danke für deine Antwort, es hat mir echt geholfen, jedoch verstehe ich nicht wie man es bei dieser Aufgabe lösen sollte:

f(x)=(x^4-x+1)/(x^3)

Wär sehr nett wenn sie mir helfen können oder auch wer anders. Danke Rafin

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\(f(x)=\frac{x^4-x+1}{x^3} \)  Wär sehr nett wenn sie mir helfen können ..

Das ist eigentlich nur Übung. Einfach mal selber machen. In diesem Fall ist das natürlich ein ziemlich langer Ausdruck ;-)$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{h \to \infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{\frac{(x+h)^4-(x+h)+1}{(x+h)^3}-\frac{x^4-x+1}{x^3}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{\frac{x^3((x+h)^4-(x+h)+1)}{x^3(x+h)^3}-\frac{(x^4-x+1)(x+h)^3}{x^3(x+h)^3}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{x^3((x+h)^4-(x+h)+1)-(x^4-x+1)(x+h)^3}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{x^3(x^4+4x^3h+6x^2h^2+6xh^3+h^4-x-h+1)-(x^4-x+1)(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{x^7+4x^6h+6x^5h^2+6x^4h^3+x^3h^4-x^4-x^3h+x^3-(x^7+3x^6h+3x^5h^2+x^4h^3-x^4-3x^3h+3x^2h^2-xh^3+x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{x^7+4x^6h+6x^5h^2+6x^4h^3+x^3h^4-x^4-x^3h+x^3-x^7-3x^6h-3x^5h^2-x^4h^3+x^4+3x^3h-3x^2h^2+xh^3-x^3-3x^2h-3xh^2-h^3}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{4x^6h+6x^5h^2+6x^4h^3+x^3h^4-x^3h-3x^6h-3x^5h^2-x^4h^3+3x^3h-3x^2h^2+xh^3-3x^2h-3xh^2-h^3}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{4x^6+6x^5h+6x^4h^2+x^3h^3-x^3-3x^6-3x^5h-x^4h^2+3x^3-3x^2h+xh^2-3x^2-3xh-h^2}{x^3(x+h)^3}\\ &= \frac{4x^6-x^3-3x^6+3x^3-3x^2}{x^3x^3}\\ &= \frac{4x^4-x-3x^4+3x-3}{x^4}\\ &= \frac{x^4+2x-3}{x^4}\\ \end{aligned}$$früher hätte ich aufgehört, wenn eine Zeile länger wird als als ein quer liegendes DIN-A4-Blatt.

Hinweis: Ab der vierten Zeile könnte man schon alle Terme weglassen, die ein \(h^n\) mit \(n \ge 2\) enthalten. Das sähe dann so aus:$$\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{h \to \infty}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{\frac{(x+h)^4-(x+h)+1}{(x+h)^3}-\frac{x^4-x+1}{x^3}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{\frac{x^3((x+h)^4-(x+h)+1)}{x^3(x+h)^3}-\frac{(x^4-x+1)(x+h)^3}{x^3(x+h)^3}}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{x^3((x+h)^4-(x+h)+1)-(x^4-x+1)(x+h)^3}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{x^3(x^4+4x^3h\dots\,-x-h+1)-(x^4-x+1)(x^3+3x^2h\dots)}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{x^7+4x^6h-x^4-x^3h+x^3-(x^7+3x^6h-x^4-3x^3h+x^3+3x^2h)}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{x^7+4x^6h-x^4-x^3h+x^3-x^7-3x^6h+x^4+3x^3h-x^3-3x^2h}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{4x^6h-x^3h-3x^6h+3x^3h-3x^2h}{x^3(x+h)^3h}\\ &= \lim\limits_{h \to \infty}\frac{4x^6-x^3-3x^6+3x^3-3x^2}{x^3(x+h)^3}\\ &= \frac{4x^6-x^3-3x^6+3x^3-3x^2}{x^3x^3}\\ &= \frac{4x^4-x-3x^4+3x-3}{x^4}\\ &= \frac{x^4+2x-3}{x^4}\\ \end{aligned}$$

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jedoch verstehe ich nicht wie man es bei dieser Aufgabe lösen sollte:

f(x)=(x^4-x+1)/(x^3)

Ein querliegendes A4-Blatt ist nicht nötig.

(x^4-x+1)/(x^3) kann man vorher umschreiben in \(x -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\).

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(x^4-x+1)/(x^3) kann man vorher umschreiben in \(x -\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\).

Du könnst einen auch gar nix ;-) da will man mal die Leute erschrecken ... aber gut. Rechne Deine Variante doch mal vor!

Answer 2

Vereinfache den Term \( \frac{\frac{3}{(x+h)^4}-\frac{3}{x^4}}{h} \) und lasse dann h gegen 0 gehen.

Wesentllich ist zunächst, dass du die Brüche \( \frac{3}{(x+h)^4}\) und \(\frac{3}{x^4} \) gleichnamig machst, bevor du sie subtrahierst. (Erweitere jeden der beiden Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs.)

Comments

Als ob das hier das Hauptproblem wäre!

Typische abakus-.Antwort, die am Wichtigsten vorbeigéht.

Unknown: Unwichtigen Teil entfernt.

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Als ob das hier das Hauptproblem wäre!

Typische abakus-.Antwort, die am Wichtigsten vorbeigéht.

Halten wir mal fest: Werner hat in seiner Lösung (natürlich nicht, weil er meinem Hinweis gefolgt ist - er kann das selbst) zunächst die Brüche \( \frac{3}{(x+h)^4}\) und \(\frac{3}{x^4} \) gleichnamig gemacht.

Dass dann natürlich die Anwendung des binomischen Satzes für manche eine weitere Klippe sein KANN, ist mir klar.

Deswegen habe ich in meiner Antwort das Wort "zunächst" verwendet.

Wenn du natürlich das Wissen hast, dass der Fragesteller das Gleichnamigmachen sowieso geschafft hätte und aber beim Ausmultiplizieren von (x+h)^4 unbedingt Hilfe gebraucht hat - dann verneige ich mich in Demut vor so viel Weisheit.