Integral berechnung - sqrt(ln(x))/x

Question

Aufgabe: Berechnen sie folgendes Integral:

$$\int \limits_{1}^{e}\frac{\sqrt{ln(x)}}{x}dx$$

Ich hab das jetzt selbst gemacht und bin bis $$\sqrt{u} = u^\frac{1}{2}$$ gekommen.

die stammfunktion davon ist ja: $$u^\frac{3}{2}$$

wäre dann nicht die stammfunktion von $$\int \limits_{1}^{e}\frac{\sqrt{ln(x)}}{x}dx$$ = $$ln^\frac{3}{2}x$$ ??

Wenn ich im Internet es ausrechen lasse, kommt: $$\frac{2*ln^\frac{3}{2}x}{3}$$

Was mache ich falsch? Bzw. wie komme ich auf die 2 und 3, welche ich nicht habe.

Comments

u^{3/2} ist keine Stammfunktion zu u^{1/2}. Das merkst du wenn du u^{3/2} einfach mal ableitest.

Answer 1

Hallo,

die Stammfunktion wäre

$$F(u) = \frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}$$

Du musst noch mit 3/2 teilen, wenn du $$u^{1/2}$$ integrierst.

Gruß

Smitty

Answer 2

Hallo,

Was mache ich falsch? ------> die Stammfunktion davon ist ja: $$u^\frac{3}{2}$$ , das stimmt nicht.

\( \int \sqrt{u}  d u \) = ?

nach der allgemeinen Formel gilt:

\( \int u^{n} \mathrm{~d} u=\frac{1}{n+1} u^{n+1}+C \)

n=1/2 ------->

= 1/((1/2) +1) u^(((1/2) +1) +C

= 2/3 u^(3/2) +C , dann resubstituieren , führt zum Ziel

Answer 3

∫ √(LN(x))/x dx

Substitution

z = LN(x) → 1 dz = 1/x dx

∫ √(z)/x x dz

∫ √(z) dz

∫ z^{1/2} dz

2/3·z^{3/2} + C

Resubst

2/3·(LN(x))^{3/2} + C

Jetzt noch das bestimmte Integral ausrechnen.