Guten fortgeschrittenen Abend,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe bzw. durchschaue ich diese nicht so recht, vielleicht verstehe ich Sie einfach falsch, ich habe trotzdem schon einen Lösungsvorschlag, denn ich hier gerne euch mitgeben möchte (vielleicht passt er aber auch schon). Also hier ist einmal die Aufgabe:
Geben Sie in folgenden Sätzen Voraussetzung(en) und Behauptung(en) explizit an:
i. Euklidischer Algorithmus
ii. Die Restklassenaddition Modulo m ist unabhängig von der Wahl der Vertreter.
Mein Lösungsvorschlag:
i)
Voraussetzung:
Es seien zwei positive natürliche Zahlen gegeben.
Wenn eine nat. Zahl c, die Zahlen a und b teilt, dann seit sich auch a+b und a-b.
Ist c ein Teiler von a und b existieren auch x ∈ ℕ und y ∈ ℕ, dass c*x=a und c*y=b ist. Jedoch ist dann: a+b = c*s + c*t = c*(s+t), also a+b ein Vielfaches von c. Außerdem ist a-b = c*s + c*t = c*(s-t), a-b ist dann ein Vielfaches von.
Behauptung:
Sobald a und b gleich sind, durch ersetzen der größeren Zahl mit der Differenz der kleineren, ist der euklidische Algorithmus erfüllt.
ii)
Voraussetzung:
Die Restklassenaddition Modulo m ist unabhängig von der Wahl der Vertreter.
Wird ein Operator für zwei Mengen definiert, so wird mit dem konkreten Vertreter gerechnet. Die Definition ist nur tragbar, wenn der Vertreter unabhängig dem Modulo m ist.
Behauptung:
Es sei a'≡a(m)undb'≡b(m). a ' ≡ a (m) und b '≡ b(m). Dann gilt a'+b'≡a+b(m)und a'b'≡ab(m)
Hiermit ist es möglich, in der Menge der Restklassen eine Addition und eine Multiplikation zu erklären, die sich auf die entsprechenden Operationseigenschaften für die Vertreter stützt, aber nicht von der Wahl der Vertreter abhängig ist.
Ich hoffe das stimmt so, was sollte sonst mit Behauptungen und Voraussetzungen gemeint sein.
Danke und einen schönen Abend euch allen!
