Aloha :)
Wir betrachten die Funktion \(f(x)\) über zwei unterschiedlichen Definitionsbereichen:
$$(1)\quad f(x)=\sin(4x)\quad;\quad x\in\left[0\bigg|\frac\pi2\right]$$$$(2)\quad f(x)=\sin(4x)\quad;\quad x\in\mathbb R$$
Für die Beantwortung der Fragen ist ein grobes Verständnis der Sinus-Funktion hilfreich:
i) Die Nullstellen der Sinus-Funktion sind alle ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\).
ii) Zwischen zwei benachbarten Nullstellen bei \(x_n=n\cdot\pi\) und \(x_{n+1}=(n+1)\cdot\pi\) liegt exakt in der Mitte, also bei \(\frac{n\pi+(n+1)\pi}{2}=\frac{2n+1}{2}\,\pi\) entweder ein Maximum oder ein Minimum vor, konkret gilt:
$$\sin\left(\frac{2n+1}{2}\,\pi\right)=\left\{\begin{array}{cl}+1 & \text{falls \(n\) gerade}\\-1 & \text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.\quad;\quad n\in\mathbb Z $$
~plot~ sin(x) ; {pi|0} ; {2pi|0} ; {3pi|0} ; {4pi|0} ; {1/2*pi|1} ; {3/2*pi|-1} ; {5/2*pi|1} ; {7/2*pi|-1} ; [[0|14|-1,2|1,2]] ~plot~
Damit können wir nun die Fragen beantworten:
zu a) Falsch für (1). Wahr für (2).
Im ersten Fall ist \(D=\left[0\big|\frac\pi2\right]\) und das Argument der Sinus-Funktion ist \(4\cdot x\). Also wird im angegebenen Definitionsbereich das Intervall \([0|2\pi]\) überdeckt. In diesem Intervall finden wir genau ein gloables Maximum und ein globales Minimum.
Im zweiten Fall ist \(D=\mathbb R\). Die Sinus-Funktion hat in \(D\) unendlich viele Nullstellen und damit auch unendlich viele globale Maxima und Minima.
zu b) Falsch für (1). Falsch für (2).
Vergleiche mit den Feststellungen zu a).
zu c) Antwort wie bei a)
Jedes globale Extremum ist auch ein lokales Extremum.
zu d) Antwort wie bei b)
Jedes globale Extremum ist auch ein lokales Extremum.
zu e) Wahr für (1). Falsch für (2).
Vergleiche die Feststellungen zu a) und erinnere dich daran, dass jedes globale Extremum auch ein lokales Extremum ist.
zu f) Wahr für (1). Wahr für (2).
Das ist eine typsiche Mathematiker-Falle, gemeint ist "mindestens ein globles Max/Min". Die Funktion besitzt in beiden Fällen ein globales Maximum und ein globales Minimum. Im zweiten Fall sogar unendlich viele davon.
