Beweis der Konvergenz der Folge a_{n+1} = sin a_{n}

Question

Wir definieren die Folge (an)n>=0 rekursiv durch die Vorschrift
a0 = 1 , an+1 = sin an .
Beweisen Sie, dass (an)n>=0 konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Könnte mir jemand einen Beweis zu dieser Aufgabe zeigen, komme nicht weiter.

Answer 1

Es ist sin (1 ) < 1 und

     sin(sin(1)) < sin (1) etc.

denn die Steigung ist ja immer kleiner 1.

Also ist die

Folge monoton fallend und nach unten beschränkt durch 0.

Also hat sie einen Grenzwert und der ist erreicht für sin(x)=x,

also ist er 0.

Comments

und nach unten beschränkt durch 0.

Das muss nicht nur so hingeschrieben, sondern auch begründet werden.

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Könnte ich die vollständige Induktion verwenden, um zu zeigen, dass die Folge monoton fallend ist?

Also:

IA: sin(1) < 1

IV: sin(an) < an

IS: sin(an + 1) < sin(an) und mit nutzen der Induktionsvoraussetzung folgt sin(an+1) < sin(an) < an , weshalb die Folge monoton fallend ist.

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Vielleicht eher mit dem Mittelwertsatz, es gilt doch für jedes a∈[0;1]

( sin(a) - sin(0) ) / ( a-0) = cos(x) mit x zwischen 0 , also

( sin(a) - sin(0) ) / ( a-0) ≤ 1

==>  sin(a) / a ≤ 1

==>   sin(a) ≤ a

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Meinst du mit "x zwischen 0", dass x ein Element aus dem Intervall (0, 1) ist ?

Und ich frage mich bei ( sin(a) - sin(0) ) / ( a-0) ≤ 1, wieso es ≤ ist.

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Meinst du mit "x zwischen 0", dass x ein Element aus dem Intervall (0, 1) ist ?

War vertippt:  "x zwischen 0 und a "  !

Und ich frage mich bei ( sin(a) - sin(0) ) / ( a-0) ≤ 1, wieso es ≤ 1ist.

Mittelwertsatz:  ( sin(a) - sin(0) ) / ( a-0) = cos(x) mit x zwischen 0 und a.

Denn cos ist ja die Ableitung von sin.

Und cos-Werte liegen im Bereich von 0 bis 1 immer auch

zwischen 0 und 1 (sogar zwischen 1 und 0,54... ).