Umformung Integral - partielle Ingratiation

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \int \limits_{-\infty}^{\infty}|h(t)| \mathrm{d} t &=\int \limits_{0}^{\infty}\left|3 \mathrm{e}^{-t}+4 t \mathrm{e}^{-2 t}\right| \mathrm{d} t=\int \limits_{0}^{\infty} 3 \mathrm{e}^{-t}+4 t \mathrm{e}^{-2 t} \mathrm{~d} t \\ & \stackrel{\text { partielle }}{\text { Integration }}\left[-3 \mathrm{e}^{-t}\right]_{0}^{\infty}+4\left(\left[t \frac{1}{-2} \mathrm{e}^{-2 t}\right]_{0}^{\infty}-\int \limits_{0}^{\infty} \frac{-1}{2} \mathrm{e}^{-2 t}\right) \\ &=+3+4 \cdot\left(-\frac{1}{(-2)^{2}}\left[\mathrm{e}^{-2 t}\right]_{0}^{\infty}\right) \\ &=+3+\frac{4}{4}=4<\infty \quad \rightarrow \text { System stabil. } \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

wie formt man die rechte Seite vom Integral um?
Ich verstehe da irgendwie den Ansatz nicht.

Merci d'advance

Answer 1

Es geht ja wohl um dieses:  \(\int \limits_{0}^{\infty} 3 \mathrm{e}^{-t}+4 t \mathrm{e}^{-2 t} \mathrm{~d} t \).

Wegen der Summe als Integrand kannst du zwei Intergrale machen

\(  =\int \limits_{0}^{\infty} 3 \mathrm{e}^{-t} dt+\int \limits_{0}^{\infty} 4 t \mathrm{e}^{-2 t} dt\).

Das erste führt auf \(  \left[-3 \mathrm{e}^{-t}\right]_{0}^{\infty}  \)

Für das 2. braucht man partielle Integration . Dazu wird erst mal die 4 ausgeklammert
und man muss betrachten \( \int \limits_{0}^{\infty}  t \mathrm{e}^{-2 t} dt\).
Partielle Integration geht ja (kurzgefasst ) nach der Regel ∫u*v' = u*v - ∫u'*v
Hier ist u=t also u' = 1 , kann man als Faktor also weglassen.
Und v'= e^-2t also v= (-1/2)*e^-2t  .

Damit kommst du klar ?

Answer 2

Aloha :)

$$I=\int\limits_0^\infty\left(3e^{-t}+4te^{-2t}\right)\,dt=\int\limits_0^\infty3e^{-t}\,dt+\int\limits_0^\infty\underbrace{4t}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-2t}}_{=v'}\,dt$$Das erste Integral ist titi, kann man so hinschreiben. Das zweite geht mit partieller Integration:$$I=\left[-3e^{-t}\right]_0^\infty+\left[\underbrace{4t}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{-2t}}{-2}}_{=v}\right]_0^\infty-\int\limits_0^\infty\underbrace{4}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{-2t}}{-2}}_{=v}\,dt$$$$\phantom{I}=\left[-3e^{-t}\right]_0^\infty-\left[\frac{2t}{e^{2t}}\right]_0^\infty+\int\limits_0^\infty2e^{-2t}\,dt=\left[-3e^{-t}\right]_0^\infty-\left[\frac{2t}{e^{2t}}\right]_0^\infty-\left[e^{-2t}\right]_0^\infty$$$$\phantom{I}=[0-(-3)]-[0-0]-[0-1]=4$$