H-Methode Ableitungsfunktion ermitteln

Question

Aufgabe:

H-Methode:

f(x) = 2 Wurzel x

Problem/Ansatz:

Ableitungsfunktion mit H-Methode rechnerisch ermitteln

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=2\sqrt{x}$$$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2\sqrt{x+h}-2\sqrt{x}}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=2\lim\limits_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=2\lim\limits_{h\to0}\frac{\left(\sqrt{x+h}\right)^2-\left(\sqrt{x}\right)^2)}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$$$$\phantom{f'(x)}=2\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=2\lim\limits_{h\to0}\frac{\cancel h}{\cancel h\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=2\lim\limits_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$$$\phantom{f'(x)}=2\cdot\frac{1}{\sqrt x+\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt x}$$

Falls du etwas nicht nachvollziehen kannst, frag einfach nochmal nach ;)

Answer 2

Bilde \( \frac{2\sqrt{x+h}-2\sqrt{x}}{h} \)=\(2( \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}) \).

Erweitere dazu den Bruch mit  \((\sqrt{x+h}+\sqrt{x})\) und wende zur Vereinfachung des entstehenden Ausdrucks die 3. binomische Formel an.

Answer 3

\( f(x)=2 \cdot \sqrt{x} \)
\( f^{\prime}(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2 \cdot \sqrt{x+h}-2 \cdot \sqrt{x}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{(2 \cdot \sqrt{x+h}-2 \cdot \sqrt{x}) \cdot(2 \cdot \sqrt{x+h}+2 \cdot \sqrt{x})}{h \cdot(2 \cdot \sqrt{x+h}+2 \cdot \sqrt{x})}= \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{4 \cdot(x+h)-4 \cdot x}{h \cdot(2 \cdot \sqrt{x+h}+2 \cdot \sqrt{x})}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{4 h}{h \cdot(2 \cdot \sqrt{x+h}+2 \cdot \sqrt{x})}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x}} \)