Wie viele Möglichkeiten gibt es aus dieser Dose ausschließlich 12 Schokokekse zu ziehen?

Question

Aufgabe:

Kombinatorik

Problem/Ansatz:

Ich hätte gleich 2 Fragen zur Kombinatorik:

1. Eine Gebäckdose enthält 16 Kekse mit Schokolade, 21 mit Nüssen und 22 mit Marmelade. Sie ziehen aus der Dose zufällig 12 Kekse. Wie viele Möglichkeiten gibt es aus dieser Dose ausschließlich 12 Schokokekse zu ziehen?

2. Ein Schachbrett besteht aus jeweils 32 dunklem und hellen Feldern. Wie viele Möglichkeiten ergeben sich 7 nicht unterscheidbare Münzen auf ausschließlich den hellen Feldern zu verteilen? Es dürfen auch mehrere Münzen auf ein Feld gelegt werden.

Vielen Dank schon mal!

Comments

Ich habe bei der Keksdosenaufgabe mit dem Binomialkoeffizient 16 über 12 als Ergebnis 1820 raus. Ist das so richtig?

Bei der anderen Aufgabe weiß ich nicht welche Formel ich hier anwenden soll

Answer 1

1. Eine Gebäckdose enthält 16 Kekse mit Schokolade, 21 mit Nüssen und 22 mit Marmelade. Sie ziehen aus der Dose zufällig 12 Kekse. Wie viele Möglichkeiten gibt es aus dieser Dose ausschließlich 12 Schokokekse zu ziehen?

Wenn wir die Schokokekse nicht unterscheiden können dann gibt es nur eine Möglichkeit.

Trägt jeder Schokokeks eine unterscheidbare Seriennummer und wir beachten die reihenfolge beim ziehen dann dann 16P12 = 871.7*10^9 Möglichkeiten

Trägt jeder Schokokeks eine unterscheidbare Seriennummer und wir beachten die reihenfolge beim ziehen NICHT dann dann 16C12 = 1820 Möglichkeiten

2. Ein Schachbrett besteht aus jeweils 32 dunklem und hellen Feldern. Wie viele Möglichkeiten ergeben sich 7 nicht unterscheidbare Münzen auf ausschließlich den hellen Feldern zu verteilen? Es dürfen auch mehrere Münzen auf ein Feld gelegt werden.

n = 32

k = 7

(n + k - 1 über k) = 12.62*10^6 Möglichkeiten

Comments

Vielen Dank!

könntest du kurz erläutern wie man bei der 2 darauf kommt genau diese Formel zu benuzen?

Die Formel habe ich bei mir in meiner Übersicht bei mit zurücklegen und ohne Betrachtung der Reihenfolge stehen. Wie kann ich das aus der Aufgabenstellung ablesen?

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Du ziehst für jede Münze das Feld, auf das du sie hinlegst. Natürlich kann ein Feld auch mehrfach gezogen werden und damit mehrere Münzen auf einem Feld liegen. Es ist egal, in welcher Reihenfolge die Felder gezogen werden. Wir legen eine Münze auf 1 und dann eine auf 4 ist ja das gleiche wie in anderer Reihenfolge.

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Danke für die super Erklärung!

Answer 2

Die Wahrscheinlichkeit das der erste gezogene
Keks ein Schokokeks ist dürfte
16 / ( 16 + 21 + 22 ) betragen

Die Wahrscheinlichkeit für die 12 Sckokoekse
insgesamt dürfte

16/59 * 15/58 * 14/57 * 13/56 * 12/55 * 11/54 *
10/53 * 9/52 * 8/51 * 7/50 * 6/49 * 5/48

betragen.

Möglichkeiten
1 / obiges = 615.102.789

Comments

Wieder einmal frage ich mich: Was soll das, kommentarlos eine 2. abweichende Lösung anzubieten?

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Warum nicht?

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Vielleicht mal eine Aufgabe zum nachdenken. Ich habe einen Beutel mit 6 Kugeln, Drei sind mit 1 und die anderen drei sind mit 2 beschriftet.

a) Es werden 2 Kugeln nacheinander aus dem Beutel gezogen und nebeneinander hingelegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Zähle die Möglichkeiten auf.

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei denen nur Einsen aus dem Beutel gezogen werden. Zähle auch diese Möglichkeiten auf.

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@mathehilf
Wieder einmal frage ich mich: Was soll das, kommentarlos eine 2. abweichende Lösung anzubieten?

Na also so ganz ohne Erklärung ist meine
Antwort nicht.

Die Wahrscheinlichkeit das der erste gezogene
Keks ein Schokokeks ist dürfte
16 / ( 16 + 21 + 22 ) betragen

Dies dürfte klar sein.

Wenn der erste Keks als Sckokokeks
gezogen wurde bleiben
16 minus 1 Schokokekse übrig.
Die Anzahl der verbleibenden Kekse
reduziert sich auch um 1.
also
Aus 16 zu 59 wird bei der 2.Ziehung
die Wahrscheinlichkeit 15 zu 58

usw.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit wird
durch Multiplikation der Einzelwahr-
scheinlichkeit ermittelt.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist
für 12 gezogene Kekse ist
0.000000001625744539

Anzahl der Möglichkeiten
1 / 0.000000001625744539 =
615.102.789

Ich freue mich auf Reaktionen..

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Mein Kommentar "kommentarlos" bezog sich darauf, dass eine Lösung angegeben worden ist und Du eine 2. angibst, die von der ersten verschieden ist, und nicht nach der Begründung für die offenbare Diskrepanz fragst. Das gehört für mich zu einer Zweit-Bearbeitung dazu.

Zur Sache selbst: Warum ergibt der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Möglichkeiten?

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Das gehört für mich zu einer Zweit-Bearbeitung dazu.
Für mich nicht.
Jeder kann hier Fragen stellen.
Jeder kann hier Antworten geben
Ich habe nicht immer Lust mich mit anderen
Beiträgen zu beschäftigen.

Zur Sache selbst: Warum ergibt der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Möglichkeiten?

Beispiiel
4 Möglichkeiten, 1 davon ist richtig
Wahrscheinlichkeit 1/4 = 0.25
Möglichkeiten 1/ 0.25 = 4

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Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace ist

Wahrscheinlichkeit = (Anzahl günstiger Möglichkeiten) / (Anzahl aller Möglichkeiten)

Der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit ist also offensichtlich

Kehrwert der Wahrscheinlichkeit = (Anzahl aller Möglichkeiten) / (Anzahl günstiger Möglichkeiten)

Wir erkennen sofort das der Kehrwert die Anzahl aller Möglichkeiten gibt wenn die Anzahl günstiger Möglichkeiten 1 ist. Was ist aber wenn die Anzahl der Günstigen Möglichkeiten nicht 1 ist?

Die Wahrscheinlichkeit von drei mit den Zahlen 1, 2, 3 beschrifteten Kugeln die 1 oder 2 zu ziehen ist 2/3. Welche Bedeutung hat jetzt der Kehrwert von 3/2 = 1.5

Und warum sollten die 1.5 auch wieder eine Anzahl von Möglichkeiten sein, was bei 1.5 ja auch gar nicht geht.

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Ich habe nicht immer Lust mich mit anderen
Beiträgen zu beschäftigen.

Ich lerne gerne aus anderen Beiträgen. Halte ihr Studium aber auch als Maßnahme zur Qualitätssicherung meiner (wenigen) Beiträge für geboten.

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Schön für deinen Einwand.
Es muß noch eine Nachberechnung
erfolgen.

Günstig / Alle = 2 / 3 = 0.66

Rückrechnung
1 / 0.66 = 1.5  = 1:5 / 1 Alle / Günstig

Hier muß das Kommaergebnis durch Multiplikation mit einer ganzen Zahl auf
eine ganze Zahl gebracht werden

1.5 * 2 = 3, beim Nenner ebenso 1 * 2 = 2
3 / 2 = Alle / günstig

Noch ein Beispiel
3 / 4  = 0.75  Günstig / Alle

Rückrechnung
1 / 0.75 = 1.33 = 1.33 * 1  Alle / günstig
Multiplikation mit ganzer Zahl
( probieren )
1.33 * 2 = 2.66
1.33 * 3 = 4
Nenner auch
1 * 3 = 3
 4 / 3 ist alle / günstig

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Jetzt bin ich gespannt, ob Der Mathecoach noch eine Erwiderung hinkriegt.

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Jetzt bin ich gespannt, ob Der Mathecoach noch eine Erwiderung hinkriegt.

Sicher. Aber da georgborn beratungsresistent ist, hat das kein Zweck. Ich kann meine Zeit auch besser verbringen.

Wie gesagt für Leute die Schwierigkeiten damit haben empfiehlt es sich die Anzahl der Kugeln reduzieren und es sich an Beispielen zu überlegen die noch leicht abzählbar sind.

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Mathecoach, ich bin mit deinem letzten
Kommentar nicht einverstanden.

Ich bin nicht beratungsresistent und lasse
mich gern belehren.

Ich habe deinen Einwand aufgeriffen und
meine Antwort noch erweitert.

Machen wir es wie die Mathematiker
dunnemals, die stellten sich immer gegen-
seitig Aufgaben . Also
In einer Grundmenge von 17 sind 8
Schokokekse vorhanden. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit mit den ersten 5 Ziehungen alles Schokokekse zu ziehen ?

Ich möchte aber nicht aufdringlich sein.

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Das sollte relativ einfach sein. Für Wahrscheinlichkeiten gilt die Pfadregel.

8/17·7/16·6/15·5/14·4/13 = 2/221

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Dann darf ich vielleicht auch eine Frage stellen.

Ein Beutel enthält 2 rote (r) und 2 schwarze (s) Murmeln.

Wie viele Möglichkeiten gibt es aus diesem Beutel 2 Kugeln nacheinander zu ziehen. Notiere auch diese Möglichkeiten

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Dann stimmt meine Antwort doch

16/59 * 15/58 * 14/57 * 13/56 * 12/55 * 11/54 *
10/53 * 9/52 * 8/51 * 7/50 * 6/49 * 5/48

Wahrscheinlichkeit 0.000000001625744539
Möglichkeiten 615102789

Die Antwort hatte ich eingestellt um die
Sache einfacher zu machen und nicht
mit Seriennummern arbeiten zu müssen.

b.) 6

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Und ich sehe keine Begründung warum deine Antwort stimmen sollte.

b.) 6

Was soll das jetzt für eine Antwort sein.?

Und was ist mit 8/17·7/16·6/15·5/14·4/13 = 2/221

Wolltest du da noch was zu sagen?

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Ich sehe gewisse Analogien zwischen
den Rechnungen von
16/59 * 15/58 * 14/57 * 13/56 * 12/55 * 11/54 *
10/53 * 9/52 * 8/51 * 7/50 * 6/49 * 5/48
und
8/17 · 7/16 · 6/15 · 5/14 · 4/13

b.)

n ! / [ k ! * ( n - k) ! ]
4 ! / [ 2 ! * ( 4- 2) ! ]

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@ Wächter: Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch G wird nicht bestritten, sondern die Behauptung über den Kehrwert dieser Wahrscheinlichkeit .

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Mit 8/17·7/16·6/15·5/14·4/13 = 2/221 berechnet man eine Wahrscheinlichkeit und keine Anzahl an Möglichkeiten.

4 ! / [ 2 ! * ( 4- 2) ! ] = 6

Das wäre die Berechnung 4 über 2

Das geht nur wenn alle Murmeln unterscheidbar sind. Das wäre also meine Seriennummer. Und wenn du die Reihenfolge in der Gezogen wird nicht beachtest.

Das war in meiner Antwort

rägt jeder Schokokeks eine unterscheidbare Seriennummer und wir beachten die reihenfolge beim ziehen NICHT dann dann 16C12 = 1820 Möglichkeiten

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Wieder einmal frage ich mich: Was soll das, kommentarlos eine 2. abweichende Lösung anzubieten?

@mathhilf

Gegenfrage: Was schießt du hier gegen einen bessere (zumindest einfachere) Lösung?

Hast du überprüft, ob Georgs Lösung nicht AUCH das richtige Ergebnis liefert?

Ich behandle mit meiner 8. Klasse gerade mal zwei Wochen lang das Ermitteln der Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen unter Verwendung von Baumdiagrammen. Den Weg von Georg würden 90% der Klasse verstehen und ca. 30% der Klasse sogar selbständig finden.

Von dieser Quote ist der Ansatz vom Coach weit entfernt, weil er wesentlich mehr Vorkenntnisse erfordert.

Ich bin wirklich kein Fan von georgborn, aber was Recht ist muss Recht bleiben.

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Eine Anzahl von Möglichkeiten aus dem Kehrwert einer Wahrscheinlichkeit zu erschließen ist schlicht weg verkehrt.

Welche Regel in der Mathematik erlaubt dieses?

Grundsätzlich ist der Kehrwert einer Wahrscheinlichkeit die mittlere Anzahl an Versuchen die man durchführen muss, um auf ein Ereignis zu kommen, welches man mit der Wahrscheinlichkeit ermittelt hat.

Es gibt Regeln zur abzählenden Kombinatorik. Die lernt man auch in der Schule.

Dazu gehören die Formeln (n über k) = n! / (k! * (n - k)!) ; n! / (n - k!) oder auch das von mir oben verwendete (n + k - 1 über k). Letzteres wird aber nicht überall im normalen Schulunterricht angesprochen.

Grundsätzlich gilt auch das Fundamentalprinzip der Kombinatorik. Entlang eines Pfades werden die Möglichkeiten multipliziert. Im Grunde ist das also genau die erste Pfadregel für Wahrscheinlichkeiten nur eben für Möglichkeiten.

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@ abakus: Was ist denn jetzt die Antwort auf die erste Frage des Fragestellers?

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Tut mir leid, ich habe oberflächlich gelesen.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit wäre Georgs Weg perfekt gewesen.

Es war aber nach der Anzahl der Möglichkeiten gefragt.

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1.)
Ich hatte meine erste Antwort aufgrund des
Einwandes vom mathecoach erweittet.

Nochmals ein einfaches Beispiel
4 von 5 = 0.8 Wahrscheinlichkeit

Bisher 1 / 0.8 = 1.25 Möglichkeiten
Ergibt nicht so ganz Sinn.
Korrektur
Das Ergebnis muß durch Multipllkation
mit einer ganzen Zahl auf eine ganze
Zahl gebracht werden.
1.25 * 4 = 5

Der Nenner von 1.25 / 1 muß auch
Multipliziert werden.

( 1.25 * 4 ) / ( 1 * 4 ) = 5 / 4

Es muß noch einmal der Kehrwert gebildet werden.
4 / 5
Der Antwortsatz : die Wahrscheinlich-
keit von 0.8 kann durch 4 aus 5  Möglich-
keiten gebildet werden.

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Meine Antwort zur Frage war
Wahrscheinlichkeit:
0.000000001625744539
oder
Möglichkeiten 615102789.0
Da die Anzahl der Möglichkeiten eine
ganze Zahlt ist braucht es in diesem Fall
der Nachberechnung nicht.

Wer hegt Einwände gegen das Lösungs-
ergebnis ?

mathecoachs Hinweis das mein Verfahren
nicht allgemeingültig sei war ok und wurde bereinigt.

@Fragesteller
hast du die offizielle Lösung der Frage ?

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Es war nach der Anzahl der Möglichkeiten gefragt, danke mathilf.

Hypergeometrisch gerechnet

N=Umfang Gesamt, n= Umfang Stichprobe, M=Erfolge Gesamt , m=Erfolge Stichprobe

N=16+21+22

n=12

M={16,43}

m={12,0}

\(P(x)=\frac{\left(\prod_{i=1}^{k} \left(\begin{array}{r}M_i\\m_i\\\end{array}\right) \right) \cdot \left(\begin{array}{r}N - \sum_{i=1}^{k}M_i\\n - \sum_{i=1}^{k}m_i\\\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{r}N\\n\\\end{array}\right)}=\frac{1820}{1119487075980} = \frac{1}{615102789}\)

es gibt 1820 möglichkeiten 12 schokokekser  aus 1119487075980 12er kekskombinationen auszuwählen. der vollständige ereignisraum 12 kekser um fasst alle m={12-i,i}, i=0…12

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Bin jetzt wieder anderer Meinung
Es muß anders gerechnet werden.
Möglichkeiten ( 59 über 12 )
= 1119487075980
Wahrscheinlich keit davon 12 Schokokekse
= 0.000000001625744539
1119487075980 *
0.000000001625744539
= 1820

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Das ist schon besser. Da ich aber nicht davon ausgehe das wir die Schokokekse unterscheiden können gibt es nur EINE EINZIGE Möglichkeit.

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Wie meinst du das ?
Bring mir den Fakt näher,

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Wenn ich einen Schokokes von deinen gezogenen zurücklege und dir dafür einen anderen Schokokeks gebe. Ändert sich dadurch etwas für dich?

Wenn du sagst es ändert sich etwas, dann kannst du wohl die Kekse unterscheiden. Wenn du du sagst es ändert sich nichts, weil man weiterhin 18 Schokokekse hat dann kannst du die Kekse nicht unterscheiden.

Ich hatte bereits ganz ganz oben als sehr frühen Kommentar eine Aufgabe geschrieben:

Vielleicht mal eine Aufgabe zum nachdenken. Ich habe einen Beutel mit 6 Kugeln, Drei sind mit 1 und die anderen drei sind mit 2 beschriftet.

a) Es werden 2 Kugeln nacheinander aus dem Beutel gezogen und nebeneinander hingelegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Zähle die Möglichkeiten auf.

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei denen nur Einsen aus dem Beutel gezogen werden. Zähle auch diese Möglichkeiten auf.

a)
Es gibt 4 Möglichkeiten wenn man die Reihenfolge mit beachtet, nur 3 wenn nicht.
11, 12, 21, 22 oder 11, 12, 22

b) Es gibt nur EINE EINZIGE Möglichkeit
11

Hier gehe ich davon aus das du die Kugeln mit der 1 drauf NICHT vonaneinder anderweitig unterscheiden kannst.

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Ist mir leider zu hoch.

Ich scheitere schon an dem Fakt das die
Wahrscheinlichkeit für12 Schokokekse
0.000000001625744539
und
die Anzahl der Möglichkeiten nur
1820
beträgt.

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Wenn man Schwierigkeiten mit so großen oder so kleinen Zahlen hat dann vereinfacht man sich das Problem, sodass man die Möglichkeiten noch abzählen kann.

Und man schreibt sich dann auch die Möglichkeiten auf. Und Wahrscheinlichkeiten ist etwas zunächst mal etwas ganz unterschiedliches.

Bei einer Anzahl von Möglichkeiten muss auch nicht jede Möglichkeit die Gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Daher ist das erste immer in einer Aufgabe zu analysieren, ob eine Wahrscheinlichkeit gefragt ist oder eine Möglichkeit.

Dort haben schon viele Schüler Schwierigkeiten.