Aloha :)
Bei Flächenberechnungen musst du beachten, dass Integrale oberhalb der \(x\)-Achse positiv sind und unterhalb der \(x\)-Achse negativ. Daher musst du das Integral an der Nullstelle \(x=4\pi\) der Sinus-Funktion in zwei Integrale aufteilen:
$$F=\left|\int\limits_{3\pi}^{4\pi}\sin x\,dx\right|+\left|\int\limits_{4\pi}^{5\pi}\sin x\,dx\right|=\left|\left[-\cos x\right]_{3\pi}^{4\pi}\right|+\left|\left[-\cos x\right]_{4\pi}^{5\pi}\right|=|-2|+|2|=4$$
~plot~ sin(x) ; x=3*pi ; x=5*pi ; {4pi|0} ; [[0|20|-1,2|1,2]] ~plot~