Epsilon Delta Kriterium für Unstetigkeit

Question

Aufgabe:

Beweise mittels Delta-Epsilon Kriterium, dass die Funktion f(x) = \( \frac{1}{2} \) + \( \frac{x}{2|x|} \)  für x ≠ 0 und f(x) = \( \frac{1}{2} \) für x = 0 nicht stetig ist. Gib ein ε > 0 an, für das sich kein δ finden lässt, wodurch die Funktion stetig wäre.

Problem/Ansatz:

Weiß jemand weiter?

Answer 1

Du siehst, dass für \( x>0 \) immerzu \( f(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \) gilt, da in diesem Fall \( |x|=x \) ist. Also kannst du z.B. \( \epsilon=\frac{1}{2} \) wählen, und es ergibt sich für alle \( \delta>0 \)
\(\begin{aligned} x>0 \Longrightarrow\left|f(x)-\frac{1}{2}\right|=\left|1-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2} \geq \epsilon\end{aligned} \)

Comments

Danke :), aber warum beweist das die Unstetigkeit?

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Weil das die Definition von Stetigkeit ist?

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Die Definition ist ja:

Für alle \( \epsilon>0 \) existiert ein \( \delta>0 \) sodass

\(\begin{aligned} \forall x:|x-0|<\delta \Longrightarrow|f(x)-f(0)|<\epsilon .\end{aligned} \)
Die Negierung dieser Definition wäre also: Es existiert ein \( \epsilon>0 \) sodass für alle \( \delta>0 \) gilt
\(\begin{aligned} \exists x:|x-0|<\delta \Longrightarrow|f(x)-f(0)| \geq \epsilon\end{aligned} \)

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Danke, hab denk Denkfehler nun gefunden. Danke :)

Answer 2

Für jedes \(\delta>0\) gilt \(-\delta/2,\delta/2 \in (-\delta,\delta)\) und

\(|f(\delta/2)-f(0)|=|1-1/2|=1/2\), egal wie klein \(\delta\) ist,

d.h. \(f\) ist in 0 nicht stetig (nimm z.B. \(\epsilon=1/4\)).

Comments

Dankeschön :)