Aufgabe:
für die Relation a ∼ b :⇔ 3 | a − 4b soll folgendes gezeigt werden:
- Relation ist eine Äquivalenzrelation auf ℤ
- Aquivalenzklasse bezüglich 0 soll bestimmt werden
- Linkstotalität der Relation soll bewiesen werden
Problem/Ansatz:
reflexiv:
Sei a ∈ ℤ, so gilt a - 4a = 3a = 3(a) ⇒ a ~ a
symmetrisch:
Seien a,b ∈ ℤ und a ~ b, so gilt 3| a - 4b. Daraus folgt: ∃k ∈ ℤ: 3k = a - 4b. Es folgt:
b - 4a = - (4a-b) = -(a - 4b + 3b + 3a) = - (3k + 3b + 3a) = -3(k+b+a) ⇒ b ~ a
transitiv:
Seien a,b,c ∈ ℤ und es gilt a ~ b und b ~ c, so gelten auch 3| a - 4b und 3| b - 4c. Daraus folgt ∃ k,l ∈ ℤ: 3k = a - 4b und 3l = b - 4c. Es gilt somit:
a - 4c = a - 4b + b - 4c - 3b = 3k + 3l - 3b = 3(k+l-b) ⇒ a ~ c
Es handelt sich somit um eine Äquivalenzrelation.
Es gilt [0] = { 3k | k ∈ ℤ}
Bis hier hin sollte es stimmen, nur weiß ich nicht wie ich linkstotal beweisen soll. Eine Relation ∼ auf einer Menge M heißt linkstotal, wenn für jedes x ∈ M ein y ∈ M existiert, so dass
x ∼ y.
Wie muss ich hierbei vorgehen?
