Anzahl an Möglichkeiten, ein Feld der Größe 3 × n mit Steinen der Größe 1 × 3 zu pflastern.

Question

Aufgabe:

Es sei an die Anzahl an Möglichkeiten, ein Feld der Größe 3 × n mit Steinen der Größe 1 × 3 zu pflastern.
Pflastern meint dabei, das Feld vollständig zu bedecken, ohne das ein Stein über das Feld hinaus ragt. Die
Steine können gedreht werden.
i) Geben Sie ai, i = 1, . . . 5, an.
ii) Geben Sie einen rekursiven Ausdruck für a_n, inklusive Startwert(e), an und beweisen Sie ihn.

Problem/Ansatz:

Ist mein Vorgehen bis jetzt im Anhang so richtig? Irgendwie kommen mir die Kombinationsmöglichkeiten für n = 4 und 5 zu wenig vor.

Und wie beweise ich das Ganze dann?

Text erkannt:

h) Feur de sols \( 3 \times 4 \), stake de sigh the
\( F_{L} \alpha=2 \) git \( 3 \times 2 \Rightarrow 3\left\{\prod \limits_{7} \Rightarrow\right. \) moglislat
Fi h \( =4 \quad M L \quad 3 \times 4=? \)
\( F_{w h}=5 \text { gat } 3 \times 5 \Rightarrow \)

Answer 1

Für n=5 hast du den Fall  senkrecht-3waagerecht-senkrecht vergessen.

Und wie beweise ich das Ganze dann?

Alle Möglichkeiten für irgendeine Breite n bekommst du, wenn du

- alle Möglichkeiten der Breite n-3  durch waagerechtes Anlegen um 3 nach rechts verlängerst

- alle Möglichkeiten der Breite n-1  durch senkechtes Anlegen um 1 nach rechts verlängerst