Betragsungleichung lösen, natürlicher Logarithmus

Question

Aufgabe:

\( {ln(x^2+x-2)} ≤ 2\)

Lösen Sie die Ungleichung.

Problem/Ansatz:

Die nächste Ungleichung. Hätte zuerst versucht das ln wegzukriegen.

Habe raus: \( e^{2} \) ≥ \( {(x^2+x-2)} \)

Aber danach?

Answer 1

LN(x^2 + x - 2) ≤ 2 → Definitionsbereich: x^2 + x - 2 > 0 → x < -2 ∨ x > 1

x^2 + x - 2 ≤ e^2

x^2 + x - 2 - e^2 ≤ 0

- (√(4·e^2 + 9) + 1)/2 ≤ x ≤ (√(4·e^2 + 9) - 1)/2 → -3.604682930 ≤ x ≤ 2.604682930

Also ergibt sich die Lösungsmenge aus

[- (√(4·e^2 + 9) + 1)/2 ; -2[ oder ]1 ; (√(4·e^2 + 9) - 1)/2]

Comments

Wie wäre das Intervall mit x?

1 < x <= (√(4·e2 + 9) - 1)/2 und -2 > x => -(√(4·e2 + 9) + 1)/2?

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Wie wäre das Intervall mit x?

Ja das wär so richtig. am besten dazwischen ein mathematisches ODER schreiben und kein Deutschen Aufzählungs UND.

Answer 2

\( e^{2} \) ≥ \( {(x^2+x-2)} \)

\( 0 \) ≥ \( {x^2+x+(-2-e^{2})} \)

Nimm die Ungleichung erst mal als Gleichung, löse sie mit pq-Formel und interpretiere das Ergebnis für die Ungleichung.

Denke aber auch daran, dass der \(ln\) der Ausgangsgleichung nicht überall definiert ist.

Comments

Als Lösung habe ich:

\( \frac{-1}{2} \) +\( \sqrt{\frac{9}{4}+e^2} \) und \( \frac{-1}{2} \) -\( \sqrt{\frac{9}{4}+e^2} \)

Wie kriege ich aber jetzt das Intervall?

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Denke darüber nach, ob der gleich-0-gesetzte Term für eine nach oben oder für eine nach unten geöffnete Parabel steht.

(Und vergiss danach nicht, das von vorn herein auszuschleißende Intervall auszuschließen).

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Eine nach oben geöffnete. Da ln(0) nicht definiert ist, ist also x = 1 aufjedenfall auszuschließen.

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Da ln(0) nicht definiert ist, ist also x = 1 aufjedenfall auszuschließen.

Der ln von negativen Werten ist auch nicht definiert.

Answer 3

Aloha :)

Ja, du gehst in die richtige Richtung:$$\left.x^2+x-2\le e^2\quad\right|+\frac{9}{4}$$$$\left.x^2+x+\frac14\le e^2+\frac94\quad\right|\text{1-te binomosche Formel links}$$$$\left.\left(x+\frac12\right)^2\le e^2+\frac94\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.\left|x+\frac12\right|\le\sqrt{e^2+\frac94}\quad\right|\text{Betragszeichen "auflösen"}$$$$\left.-\sqrt{e^2+\frac94}\le x+\frac12\le\sqrt{e^2+\frac94}\quad\right|-\frac12$$$$-\frac12-\sqrt{e^2+\frac94}\le x \le-\frac12+\sqrt{e^2+\frac94}$$

Jetzt musst du noch beachten, dass die Logarithmus-Funktion nur für positive Argumente defniert ist:$$0\stackrel!<x^2+x-2=(x+2)(x-1)\implies x<-2\;\lor\;x>1$$Das liefert schließlich als gesamte Lösung:$$x\in\left[-\frac12-\sqrt{e^2+\frac94}\Bigg|-2\right)\cup\left(1\Bigg|-\frac12+\sqrt{e^2+\frac94}\right]$$

~plot~ x^2+x-2 ; e^2 ; x=-3,6 ; x=2,6 ;  [[-5|5|-3|12]] ~plot~

Comments

Was ist denn mit dem Fall x = 1? Das wäre doch undefiniert.

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Was ist denn mit dem Fall x = 1? Das wäre doch undefiniert.

Nicht nur x = 1

Man muss schon die Definitionsmenge beachten

Definitionsbereich: x^2 + x - 2 > 0 → x < -2 ∨ x > 1

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Ich habe meine Antwort noch ergänzt...

Ich habe an dem Graphen gemerkt, dass ich noch eine Bedingung vergessen hatte.