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Aufgabe:

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Problem/Ansatz:

Hallo! :-)

Kann mir hier jemand bitte weiterhelfen? Irgendwie stimmt das Ergebnis nicht und ich weiß nicht genau wo der Fehler liegt...


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Alternativ quadriere beide Seiten und erhalte nach einigen Umformungen die äquivalente Ungleichung 0 < x·(x - 8).

Das wäre auch eine Idee gewesen, vielen Dank dafür! :-)

2 Antworten

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Aloha :)

In deinem 1. Fall wird links aus \((x+4)\) plötzlich \((x+3)\).

In deinem 2. Fall wäre die richtige Folgerung \(x>0\).

In deinem 3. Fall wird links aus \((x+4)\) plötzlich \((-x-4)\).

Dein 4. Fall ist korrekt.


Du kannst dir durch vorheriges Umformen zwei Fälle sparen:

$$\left.\left|\frac{x+4}{x-2}\right|<2\quad\right|\text{Bruch umschreiben}$$$$\left.\left|\frac{x-2+6}{x-2}\right|<2\quad\right|\text{Bruch aufteilen}$$$$\left.\left|1+\frac{6}{x-2}\right|<2\quad\right|\text{Betrag auflösen}$$$$\left.-2<1+\frac{6}{x-2}<2\quad\right|-1$$$$\left.-3<\frac{6}{x-2}<1\quad\right.$$Nun machen wir eine Fallunterscheidung.

1. Fall: \(x>2\)

Wegen \(x-2>0\) ist der Burch positiv, sodass wir nur das rechte Kleiner-Zeichen erfüllen müssen:$$\frac{6}{x-2}<1\implies\frac{x-2}{6}>1\implies x-2>6\implies x>8$$

2. Fall: \(x<2\)

Wegen \(x-2<0\) ist der Bruch negativ, sodass wir nur das linke Kleiner-Zeichen erfüllen müssen:$$-3<\frac{6}{x-2}\implies 3>\frac{6}{2-x}\implies\frac13<\frac{2-x}{6}\implies2<2-x\implies x<0$$

Wir fassen die Lösungsmenge zusammen:$$\mathbb L=\left\{x\in\mathbb R\big|x<0\;\lor\;x>8\right\}$$

~plot~ abs((x+4)/(x-2)) ; 2 ; [[-15|15|0|5]] ~plot~

Avatar von 152 k 🚀

Oha, das ist ja mal ne ganz ausführliche Antwort!

Vielen Dank, dass Du Dir soviel Mühe gegeben hast. Suuuuuper! :-)

Schau dir mal bitte deine ersten 3 Fälle an. Da hast du parallel irgendwie Fernsehen geguckt... Sind nur kleine Flüchtigkeitsfehler, aber die machen dir deinen guten Ansatz kaputt.

Wieder eine tolle Lösung, Tschaka! Ich bin dein Fan! :))

@Tschakabumba

Stimmt, da sind ein paar kleine dumme Fehlerchen gewesen, ich konnte die Frage nachher nicht mehr bearbeiten, leider. :<

Ich danke Dir trotzdem für Deine super mega tolle Antwort, noch genauer geht es nicht!
Now I'm happy! :-)


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Unbenannt.PNG

Text erkannt:

Quadrieren mit dem Vorschlag von Arsinoë4:
\( \begin{array}{l} \left|\frac{x+4}{x-2}\right|<2 \\ \frac{|x+4|}{|x-2|}<2 \end{array} \)
\( |x+4|<2 \cdot \mid x-2 \|^{2} \)
\( \begin{array}{l} (x+4)^{2}<4 \cdot(x-2)^{2} \\ x^{2}+8 x+16<4 x^{2}-16 x+16 \\ x^{2}+8 x<4 x^{2}-16 x \\ x^{2}-8 x>0 \end{array} \)
\( 1<2 \)
Probe für \( x=9 \)
\( \begin{array}{l} \left|\frac{9+4}{9-2}\right|<2 \\ \frac{13}{7}<2 \end{array} \)




Avatar von 40 k

Oh, vielen Dank für Deine super tolle Antwort! :-D

Schön, dass Du Dir auch extra die Mühe gegeben hast, das ganze sogar noch aufzuschreiben. :-)

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