Aloha :)
In deinem 1. Fall wird links aus \((x+4)\) plötzlich \((x+3)\).
In deinem 2. Fall wäre die richtige Folgerung \(x>0\).
In deinem 3. Fall wird links aus \((x+4)\) plötzlich \((-x-4)\).
Dein 4. Fall ist korrekt.
Du kannst dir durch vorheriges Umformen zwei Fälle sparen:
$$\left.\left|\frac{x+4}{x-2}\right|<2\quad\right|\text{Bruch umschreiben}$$$$\left.\left|\frac{x-2+6}{x-2}\right|<2\quad\right|\text{Bruch aufteilen}$$$$\left.\left|1+\frac{6}{x-2}\right|<2\quad\right|\text{Betrag auflösen}$$$$\left.-2<1+\frac{6}{x-2}<2\quad\right|-1$$$$\left.-3<\frac{6}{x-2}<1\quad\right.$$Nun machen wir eine Fallunterscheidung.
1. Fall: \(x>2\)
Wegen \(x-2>0\) ist der Burch positiv, sodass wir nur das rechte Kleiner-Zeichen erfüllen müssen:$$\frac{6}{x-2}<1\implies\frac{x-2}{6}>1\implies x-2>6\implies x>8$$
2. Fall: \(x<2\)
Wegen \(x-2<0\) ist der Bruch negativ, sodass wir nur das linke Kleiner-Zeichen erfüllen müssen:$$-3<\frac{6}{x-2}\implies 3>\frac{6}{2-x}\implies\frac13<\frac{2-x}{6}\implies2<2-x\implies x<0$$
Wir fassen die Lösungsmenge zusammen:$$\mathbb L=\left\{x\in\mathbb R\big|x<0\;\lor\;x>8\right\}$$
~plot~ abs((x+4)/(x-2)) ; 2 ; [[-15|15|0|5]] ~plot~
