Betragsungleichung Bruch |(|x|-3)/(x-3)| > 1

Question

$$ |\frac { |x|-3 }{ x-3 } |>1 $$

Betrag im Betrag sind hier vermutlich 4 fälle aufzustellen ?!?
Liege ich damit richtig ?

Comments

Im Prinzip ja.

Answer 1

Vorbemerkung : " hilfmirbitteweiter " du hattest vor ein paar Tagen
eine Betragsungleichung eingestellt die dann auch ohne große
Fallunterscheidungen beantwortet werden konnte.
Dies war allerdings eine Funktion : | Term | < a
Lösungsweg : -a < Term < a

Bei dieser Aufgabe hatte ich zunächst Fallunterscheidungen
durchgeführt, was aber eine Menge Arbeit gewesen ist.

Dann kam mir, ohne mir schmeicheln zu wollen, ein genialer
Einfall. Ich habe die Funktion untersucht ob sie im Bereich
≤ 1 ist, also das Ungleichheitszeichen umgedreht
 Also gegeben : | Term | > 1
Untersucht wurde : -1 ≤ Term ≤ 1

Es ist noch eine Fallunterscheidung notwendig
Für x > 0 ergibt sich : die Funktion ist stets
-1 ≤ Term ≤ 1
Für x < 0 ergibt sich : die Funktion ist stets
-1 ≤ Term ≤ 1

Somit ergibt sich : der Term ist nie im Bereich > 1.

Falls das alles stimmen sollte bedeutet dies

Kommt ein Betragsausdruck in einer Gleichung
vor müssen wohl Fallunterscheidungen gemacht
werden.
Kommt ein Betragsausdruck in einer Ungleichung
( > oder < ) kann mit dem vorgestellten Lösungsweg
die Lösung einfacher gefunden werden.

mfg Georg

Comments

Ich kann die Verallgemeinerung deiner Aussage nicht unterschreiben.

In diesem Beispiel war der Weg eventuell einfacher für dich, was daran lag, dass die anfängliche Ungleichung für kein x gilt. (Somit gilt die Umkehrung der Ungleichung, also das was du gemacht hast für alle x).

Trotzdem hast du bei deiner Vorgehensweise Fallunterschiede gemacht, die anfängliche Ungleichung lässt sich aber auch mit wenig Fallunterschieden zeigen, weswegen ich nicht unbedingt sagen würde, dass dein Weg der "einfachere" ist.

Nur ein paar Anmerkungen.

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Hallo Yakyu,

deine Beiträge in diesem Forum sind mir eher positiv
aufgefallen.  Gegen einen sachlichen Austausch von Meinungen
habe ich nichts. Begrüße diesen sogar.

Der Fragesteller hat vor ein paar Tagen eine ähnliche Frage hier eingestellt

https://www.mathelounge.de/156484/betragsungleichung-mit-bruch-x-1-2-x-1-2

Die Antwort von hh189 unterschied sich von allen andern Antworten deutlich.
Ich kannte diese Vorgehensweise noch nicht.

Ich habe zunächt die Lösungen mit Fallunterscheidungen erarbeitet. Dies
waren ca 32 Umformungen.

Bei dieser Lösung ist nur ca 25 % des Arbeitsaufwands vonnöten. Falls
du dich überzeugen willst entwickele bitte die Lösung mit Fallunter-
scheidungen. Das ist wie Tag und Nacht.

Ich denke schon das man mit diesem Verfahren den Arbeitsaufwand
a.) deutlich reduzieren kann
b.) Betragsgleichungen erfordern von mir immer ein hohes Maß an
Konzentration und verwirren mich auch mitunter. Durch dieses Verfahren
werden die Berechnungen doch deutlich klarer. Wenigstens bei mir.

mfg Georg

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Hi Georg,

nach erneuter Überlegung finde ich, dass meine Anmerkung nicht klar genug in seiner Aussage war.

Das Verfahren mit der Intervallbetrachtung, dass du hier verwendet hast, find ich selber auch vorteilhafter als das blosse Fallunterscheiden nach Schema F, weil man damit auch mal sieht, was Beträge im Grunde ausdrücken. Mir ging es eher darum, dass es in diesem Beispiel keinen großen Unterschied macht ob man,

$$ -1 \leq   \frac{|x|-3}{x-3} \leq 1 $$

betrachtet und dann im Umkehrschluss auf die ursprüngliche Ungleichung schließt, oder ob man die Fälle

$$ \frac{|x|-3}{x-3} > 1 \quad \lor \quad \frac{|x|-3}{x-3} < -1 $$

überprüft. Vor allem weil man durch das Bearbeiten der ersten Ungleichung schon der ein oder andere Fallunterschied wegfällt. Allgemein ist mal der eine mal der andere Weg ein wenig kürzer. Ansonsten kann ich nur bestätigen, was du geschrieben hast und finde deine Antwort super.

Gruß

Yakyu

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Hallo Yakyu,

du hast alles schön auf den Punkt gebracht, insbesondere hast du
für das Verfahren den Namen " Intervallbetrachtung " angeführt.

Für dieses Beispiel hatte sich mein Arbeitsaufwand auf 25 % reduziert
und  war für mich auch einfacher durchzuführen.

Ob die Intervallbetrachtung bei jeder Betragsungleichung eingesetzt
werden kann ist auch noch fraglich. Das wird man sehen.

mfg Georg

Answer 2

Hi, mit zu vielen Fällen kannst du eigentlich nix falsch machen außer dir mehr Arbeit als nötig zu

machen. In diesem Beispiel reichen auch 3 Fälle.

Tipp: 1. Fall

$$ x \geq 0 $$

Comments

Hi, ich führe diesen Einstieg noch etwas weiter, die Ausgabgssituation ist

$$ (1) \quad \left|\frac { \left|x\right|-3 }{ x-3 } \right|>1 \quad \land \quad x \ne 3 $$

Dies ist offenbar für x ≥ 0 niemals erfüllbar, sodass der innere Betrag aufgelöst werden kann und (1) äquivalent zu

$$ (2) \quad \left|\frac { 3+x }{ 3-x } \right|>1 \quad \land \quad x < 0 $$

ist. Wie man jetzt sparsam weitermacht, weiß ich noch nicht. Vielleicht hilft die Beobachtung, dass in dieser Situation der Nenner immer positiv ist.

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@jd139
Damit ich dich richtig interpretiere
x >= 0 bedeutet
( x - 3 ) / ( x - 3 ) und  damit stets 1
und dann wären für x=> 0 auch schon fertig.

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Richtig, in diesem Fall gibt es also keine Lösungen und man kann den inneren Betrag los werden. Ich weiß auch, wie es nach (2) weitergehen könnte: Beide Seiten sind positiv, wir dürfen Quadrieren und sind den äußeren Betrag los.

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Wir suchen ja die Minimallösung

Für den Fall x < 0 wird der Term
( -x  - 3 ) / ( x - 3  ) > 1  | * ( x - 3 )  - ist stets negativ
- x - 3 < x - 3
2x > 0
Widerspruch zur Eingangsannahme x < 0
Somit die leere Menge.

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Hm... ich sehe noch nicht, warum in Deinem letzten Vorschlag der Außenbetrag weggelassen werden kann. Der Zähler kann für x<0 immer noch zwei verschiedene Vorzeichen haben.

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Stimmt, da hast du recht. Dann muß ich nochmal ran.

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Oder vielleicht doch. Im Zähler können nur negative Werte
vorkommen. Im Nenner auch.
- / - gibt +
Das heißt der Bruch ist immer positiv. Die Betragszeichen
können entfallen.

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Füe x=-4 ist der Zähler positiv...

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Stimmt, da hast du recht. Dann muß ich nochmal ran.

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Ich verweise auf meine eigene Antwort.
Etwas Kürzeres fällt mir nicht ein.

Wie schon ausgeführt ist
( -x - 3 ) / ( x - 3 )
durch Polynomdivision
-1 - 6 / ( x - 3 )
für x < 0 ist der Wertebereich
] -1 ; 1 [  oder 
Wertebereich abs ( ] -1 ; 1 [  ) gleich  < 1