Abbildung φ(n), Was ist die Lösung?

Question

$$Def.: φ: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \\ φ(n+m)=φ(n)+φ(m)+2nm \quad \forall n,m \in \mathbb{N}. \\ \text{Weiterhin gilt: }φ(0)=0\\ \text{Man zeige, dass wenn }φ(1)=a\ \text{mit } a\in\mathbb{N}  \text{ gilt, dann auch: } \\ φ(n)=n*(n+a-1) \quad\forall n \in \mathbb{N}. \\ \text{Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich hier weiterkomme? }\\ \text{Meine Ansätze haben mich leider noch nicht zur Lösung gebracht.}$$

Answer 1

Aus φ(1)=a folgt φ(2)= φ(1+1)=φ(1)+φ(1)+2*1*1 = 2a+2

Aus φ(1)=a und  φ(2)=2a+2 folgt  φ(3)=a+(2a+2)+2*(1*2)= 3a+6

Aus φ(1) und φ(3) kannst du  φ(4) berechnen usw., bis du bei  φ(n) angekommen bist.

Erkennst du jetzt schon die Bildungsvorschrift?

Normalerweise ist das ein Fall für vollständige Induktion.

Comments

Sehr gut, ich konnte es jetzt vollständiger Induktion lösen. Die nächste Aufgabe lautet:

Man zeige, dass wenn  φ(1) und φ(4) Quadrate sind, dann gilt φ(n) = n*n für alle nat. Zahlen. Hierfür habe ich leider auch keinen Ansatz.

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Wenn φ(1)=a ist, was ist dann φ(4)?

Wenn φ(1)=a eine Quadratzahl sein soll, können wir ja mal a als b² schreiben.

Wie sieht dann φ(4) aus?

Wie groß muss dann b sein, damit φ(4) auch Quadratzahl ist?

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ich komme auf φ(4)=4b^2+12, dies soll ja auch eine Quadratzahl sein, mit φ(n)=n^2+a*n-n=n^2 erhalte ich: a=b=1, mir fehlt aber die Begründung warum φ(4)=4b^2+12 nur für b=1 eine Quadratzahl ist

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mir fehlt aber die Begründung warum φ(4)=4b²+12 nur für b=1 eine Quadratzahl ist

4b²+12=4(b²-3) ist nur dann eine Quadratzahl, wenn auch b²+3 eine QZ ist.

Die nächstgrößere QZ nach b² ist (b+1)²=b²+2b+1. Aus b²+3=b²+2b+1 folgt b=1.

(Eine noch größere QZ als (b+1)² kann es nicht sein, weil ...)