Laurentreihe bestimmen (Ansatz vorhanden)

Question

$$f(z)=\frac{1}{z+2}+\frac{1}{z^2}$$

Bestimmen Sie die Laurentreihe von \( f \) im Ringgebiet \( \{z \in \mathbb{C}|0<| z+2 \mid<2\} \).

Mein Ansatz bisher:

$$\frac{1}{z+2}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-(-\frac{z}{2})}=\frac{1}{2}\sum \limits_{n=0}^{\infty}-\frac{z^k}{2^k}$$

WIe bestimme ich jetzt die Laurentreihe damit bzw. wie bestimme ich erstmal die Summe über $$\frac{1}{z^2}$$

Answer 1

Ein anderer Ansatz: Bekanntlich gilt$$\frac1{(1-z)^2}=\sum_{k=0}^\infty(k+1)z^k\text{ für }\vert z\rvert<1$$und damit$$\frac1{(2-z)^2}=\frac1{4\cdot\big(1-\frac z2\big)^2}=\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{4\cdot2^k}z^k\text{ für }\vert z\rvert<2.$$Die gesuchte Laurentreihe lautet somit$$\frac1{z+2}+\frac1{z^2}=(z+2)^{-1}+\sum_{k=0}^\infty\frac{k+1}{2^{k+2}}(z+2)^k\text{ für }\lvert z+2\rvert<2.$$