Laurentreihe von 1/sin(z)

Question

Hi

ich würde gerne 1/sin(z) in eine Laurent-Reihe entwickeln, einmal um den Punkt 2*Pi*n und dann noch mal um 2*Pi*n  + Pi, damit ich die Singularitäten klassifizieren und die Residuen ablesen kann.

Leider funktioniert das irgendwie nicht ganz.

laut Wolfram Alpha müsste ich auf Reihen kommen an den ich ablesen kann, dass beide Pol erster Ordnung sind und die Residuen 1 und -1 sind....Aber darauf komme ich einfach nicht

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Leider funktioniert das irgendwie nicht ganz.

Was meinst du mit "nicht ganz"? An welcher Stelle deines Ansatzes kommst du nicht weiter?

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Also wenn ich 1/sin(z) um 2Pin haben will dachte ich, dass ich vielleicht einfach schreiben kann für den Sinus:

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{((-1)^n/(2n+1)) (z-2*pi*n)^( 2n+1)} \)

aber wenn ich diese Summe unter den Bruch ziehe bekomme ich nur negative Glieder. Es sollte aber nur ein negatives Glied geben,weil ich ja einen Pol erster Ordnung habe... :/

Answer 1

Möglicherweise verwechselst du das mit sin(1/z). Besser ist vielleicht$$\large\tfrac1{\sin(z)}=1:\left(z-\tfrac16z^3+\tfrac1{120}z^5-\tfrac1{5040}z^7+\dots\right)=\tfrac1z+\tfrac16z+\tfrac7{360}z^3+\tfrac{31}{15120}z^5+\dots$$

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Danke für deine Antwort.

Leider verstehe ich nicht so ganz wie du das machst.

wenn ich jetzt 1/(z-(1/6)*z^3 ) habe wie kommst du dann darauf, dass das 1/z+(1/6)*z ist? Wie formst du das um?

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Ist dir "Polynomdivision" ein Begriff?

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oh ja sorry, jetzt verstehe ich es.

Danke für deine Hilfe :)