Definition (Bernoulliexperiment). Ein Bernoulliexperiment ist ein Experiment, das zwei mögliche Ergebnisse hat.
Die Ergebnisse eines Bernoulliexperiments werden üblicherweise als Erfolg und Misserfolg bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass Erfolg eintritt, heißt Erfolgswahrscheinlickeit und wir üblicherweise mit \(p\) bezeichnet.
Definition (Bernoullikette). Eine Bernoullikette der Länge \(n\) besteht daraus, dass ein Bernoulliexperiment \(n\) mal durchgeführt wird.
Satz (Bernoulliformel). Die Zufallsgröße \(X\) sei die Anzahl der Erfolge in einer Bernoullikette der Länge \(n\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). Dann ist
\(P(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\).
Satz (kumulierte Wahrscheinlichkeit). Die Zufallsgröße \(X\) sei die Anzahl der Erfolge in einer Bernoullikette der Länge \(n\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). Dann ist
\(P(X \leq k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \ldots + P(X=k)\).
Weil bei der Berechnung der kumlierten Wahrscheinlichkeit sehr viele Summanden auftreten, haben gängige Taschenrechner eine Funktion eingebaut, mit der sie berechnet werden kann. Schau in der Bedienungsanleitung deines Taschenrechners nach, wie die Funktion aufgerufen wird.
aber nicht einmal ein Drittel (31 Prozent) prüft vor der Nutzung von sozialen Netzwerken deren Sicherheits-und Datenschutzeinstellungen.
Die Zufallsgröße \(X\) sei die Anzahl der Jugendlichen, die vor der Nutzung von sozialen Netzwerken deren Sicherheits-und Datenschutzeinstellungen prüfen. Dann ist \(p = 0,31\) und ...
unter den 100 zufällig ausgewählten Jugendlichen
... \(n = 100\).
b) höchstens 30 ihre Sicherheits- und Datenschutzeinstellungen prüfen
Berechne \(P(X \leq 30)\)
c) mindestens 35 ihre Sicherheits- und Datenschutzeinstellungen prüfen
Gesucht ist \(P(X \geq 35)\).
Mittels Gegenwahrscheinlichkeit gilt
\(P(X \geq 35) = 1 - P(X < 35) = 1 - P(X \leq 34)\).
d) mindestens 30 und höchstens 45 ihre Sicherheits- und Datenschutzeinstellungen prüfen
Gesucht ist \(P(30 \leq X \leq 45)\).
Es gilt
\(\begin{aligned}&P(30 \leq X \leq 45) \\=\ & P(X \leq 45) - P(X < 30)\\=\ & P(X \leq 45) - P(X \leq 29)\text{.}\end{aligned}\)
