Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig ausgewählten Personen mindestens 2 mit Blutgruppe AB …

Question

Aufgabe:

1. Nur \( 1 \% \) der Bevölkerung hat Blutgruppe AB negativ. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig ausgewählten Personen mindestens 2 mit Blutgruppe AB negativ sind
a) mit Hilfe der Binomialverteilung,
b) mit Hilfe der Poissonverteilung.

Problem/Ansatz:

Ich wollte nur überprüfen, ob die Wahrscheinlichkeit 26,42% für diese Aufgabe richtig wäre.

Answer 1

Das sehe ich auch so.

\(\displaystyle \sum \limits_{k=2}^{100} \binom{100}{k}  \cdot 0,01^{k} \cdot (1-0,01)^{100-k}\approx 26,42 \; \% \)

\(\displaystyle e^{-1} \cdot \sum \limits_{k=2}^{100} \frac{1^{k}}{k!}\approx 26,42 \; \% \)

Comments

Exakt. Wenn \(X\) für die Anzahl der Personen steht, deren Blutgruppe AB negativ ist, dann ist der Ansatz für (a), dass \(X\sim Bin(p,n)\), wobei \(n=100\) und \(p=0,01\). Da \(n\) recht groß und \(p\) recht klein ist, lässt sich die Binomialverterteilung durch die Poissonverteilung approximieren mit \(\lambda=0,01\cdot 100\). Ansatz für (b) ist also \(X\sim Poi(1)\).

Answer 2

a) P(X>=2) = 1- P(X<=1) = 1-P(X=0) -P(X=1) = 1- 0,99^100- 100*0,01*0,99^99 = 0,2642

b) P= 1- 1^0/0!*e^(-1) - 1^1/1!*e^(-1) = 0,2642