Berechnung Pyramidenhöhe aus Koordinaten der Ecken.

Question

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Folgende Aufgabe:
Die Punkte A(4/0/0), B(4/5/1), C(0/0/1) sind die Ecken der Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide. S(-1/4/3) sei die Spitze der Pyramide. Berechne die Pyramidenhöhe.

Nun meine Idee wäre die folgende: Zuerst die Ebene zu berechnen auf denen die drei Punkte stehen und dann mit der Hesschen Normalform den Abstand zum Punkt S.
Ist die Idee im Ansatz richtig? Und wie kann ich aus den Punkten auf die Ebenengleichung schliessen?

Herzlichen Dank bereits im voraus für eure Ideen und Antworten.

Answer 1

Deine Idee ist richtig.

 

Im weiteren muss die Hessesche Normalform der Ebene bestimmt werden. Dazu berechnet man zunächst den Normalenvektor n mit Hilfe folgender Gleichungen:

( B - A )  n  = 0

( C - A )  n  = 0

Daraus ergibt sich das Gleichungssystem

( B₁ - A₁ ) n₁+ ( B₂ - A₂ ) n₂+ ( B₃ - A₃ ) n₃ = 0

( C₁ - A₁ ) n₁+ ( C₂ - A₂ ) n₂+ ( CB₃ - A₃ ) n₃ = 0

Indem man z.B. n₁ = 1 setzt, ist dieses Gleichungssystem eindeutig lösbar und man erhält den Vektor n, der noch normiert werden muss:

n₀ = n / | n |

Mit diesem Normaleneinheitsvektor kann man nun

d = a * n₀

berechnen und damit die Hessesche Normalform

r * n₀ - d = 0

der Ebene aufstellen. 

Setzt man hier für r den Ortsvektor s des Punktes S, dessen Abstand x von der Ebene bestimmt werden soll, ein, so erhält man

x = s * n₀ - d

Comments

Vielen Dank bereits für deine Antwort.
Wie kommst du aber auf das Gleichungssystem bzw. auf die B1-A1 etc..?
mfg

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Gemeint sind die Komponenten des Vektors AB = (0,5,1)

A(4/0/0), B(4/5/1), C(0/0/1)

B1-A1 = 4-4 = 0

B2-A2 = 5-0 = 5

B3-A3 = 1-0 = 1.

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Nun, A ,B und C sind ja Vektoren und somit auch B - A und C - A .
Und wenn ich das Skalarprodukt ( B - A ) * n berechnen will, dann entsteht dabei eben diese Summe der komponentenweisen Produkte von ( B - A ) und n.

Beantwortet das deine Frage?

Answer 2

Alternative: Teile das Volumen des von AB, AC, AS aufgespannten Spats  V = |det (AB, AC, AS)| durch die Grundfläche des Spats. G=  | AB x AC |     (Betrag des Vektorprodukts)

Comments

Gute Idee, aber wegen

V = ( 1 / 3 ) G * h

<=> h = 3 * V / G

muss das Dreifache des Spatvolumens durch den Grundflächeninhalt dividiert werden.

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@JotEs: Den Drittel braucht's nicht. Ich rechne nur mit dem Spat (Parallelepiped) und nicht mit der Pyramide.