Bestimmen Sie den Fußpunkt der Pyramidenhöhe? Welche Höhe hat die Pyramide? Welches Volumen hat die Pyramide?

Question

Die Fragen stehen oben

nun liegt vor mir eine Abbildung, in der eine Pyramide mit den Punkten  A(7/1/0), B(7/7/2), C(1/7/4), D(1/1/2) und S(7/1/4)

Ich weiß lediglich, dass ich die Hess'sche Normalenform benötige, jedoch habe ich sonst keine weitere Ahnung.

Ich bitte um Hilfe und somit, dass euer Rechenweg für mich verständlich gemacht wird, wofür ich euch sehr dankbar wäre.

Answer 1

Bestimme die Gleichung der Ebene durch ABCD.

Bilde die Gerade durch S mit dem Normalenvektor dieseer Ebene als Richtungsvektor .

Die Schneidet die Ebene im Fußpunkt der Pyramidenhöhe F

Die Länge von FS ist die Pyramidenhöhe

Volumen ist Grundfläche mal höhe / 3

Answer 2

\(\overrightarrow{AB}\) =  \( \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}\) = \(\overrightarrow{CD}\)   ;   \(\overrightarrow{AD}\) = \( \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) = \(\overrightarrow{BC}\) 

→  Viereck ABCD ist ein Parallelogramm

\(\overrightarrow{AB}\) • \(\overrightarrow{AD}\)  ≠ 0  →  kein Rechteck!

\(\overrightarrow{AB}\) x \(\overrightarrow{AD}\) = \( \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ 36 \end{pmatrix}\)  → \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)  ist Normalenvektor der Ebene e durch A, B, C, D

e_ABCD:    \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) • \(\vec{x}\)  -  \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) = 0 ⇔ \( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) • \(\vec{x}\) - 6 = 0

Lotgerade g durch  S senkrecht zu e:   \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) +  r • \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Term von g in e einsetzen →  r ,  r in g einsetzen ergibt  Höhenfußpunkt H.

| \(\overrightarrow{SH}\) | = Pyramidenhöhe h

[ Formel:  |\(\vec{v}\)| = \(\sqrt[]{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\) ]

Die Grundfläche ergibt sich aus  A = | \(\overline{AB}\) x \(\overline{AC}\) | 

Pyramidenvolumen = 1/3 • A • h

Gruß Wolfgang