Wie erhält man die Höhe sowie den Fußpunkt der Höhe von einer Pyramide, deren Gründfläche ein Parallelogramm?

Question

Aufgabe:

Der Schnittpunkt der Geraden g:[P(1/2/4), Q(4/4/-4)] und h: X=(5/4/-10)+ t(5/4/-10) ist die Spitze einer Pyramide, deren Grundfläche das Parallelogramm mit den Eckpunkten A(2/3/0), B(2/0/4), C(-4/8/2), D ist. Berechnen Sie die Koordinaten von D, die Länge der Höhe h sowie den Fußpunkt der Höhe und das Volumen der Pyramide.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Schnittpunkt ausgerechnet, indem ich die beiden Geraden gleichgesetzt habe. S(10/8/-20).

Der Punkt D ist sehr einfach zu berechnen D=A+BC, D(-4/11/-2)

Das Problem ist: ist die Höhe gleich wie der Abstand zwischen S(10, 8, -20) und der Ebene ABCD?

das heißt die Hessesche Normalform ist hier anwendbar, oder? Allerdings kriege ich falsche Antwort wenn ich sie anwende.

Kann mir jemand hilfen bitte bitte bitte! wie kriege ich die Länge der Höhe,den Fußpunkt der Höhe????

Answer 1

A(2/3/0), B(2/0/4), C(-4/8/2)

$$ \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -4\\ 8\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\0 \\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\3 \\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\11 \\-2 \end{pmatrix} $$

D ist schon mal richtig. :-)

Jetzt brauchst du einen Normalenvektor der Parallelogramm-Ebene E.

$$ \vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix} 0\\-3\\4 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -6\\5\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -26\\-24\\-18 \end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}$$

Normalenform der Ebene E:

$$ E: \begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 2\\3\\0 \end{pmatrix} =62$$

Gerade g durch S(10|8|-20), die orthogonal zu E verläuft:

$$ g: \vec x= \begin{pmatrix} 10\\8\\-20 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}$$

Schnittpunkt von g und E bestimmen, also den Lotfußpunkt L:

$$ \begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}\circ\left(\begin{pmatrix} 10\\8\\-20 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}\right) =62 $$

$$ 46 +169r+144r+81r=62  \rightarrow r=\frac{8}{197} $$

r in g einsetzen, L bestimmen:

$$ \overrightarrow{OL} \approx \begin{pmatrix} 10.5279\\ 8.48731\\ -19.6345 \end{pmatrix} $$

Höhe ist Länge der Strecke SL.

$$ \overrightarrow{SL}=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OS} \approx \begin{pmatrix} 10.5279\\ 8.4873\\ -19.6345 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10\\ 8\\ -20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5279\\ 0.4873\\ 0.3655 \end{pmatrix} $$

$$ h=|\overrightarrow{SL}|\approx0.806058$$

Comments

Habe genau das Gleiche gemacht, aber die Lehrerin Antwort lautet: Fußpunkt F(26/3, 20/3, -63/3) ich verstehe nicht was wir falsch gemacht haben.

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Hast du denn das gleiche Ergebnis wie ich?

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genau das Gleiche.

Herzlichen Dank für die Hilfe.

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Vielleicht ein Vorzeichenfehler bei den gegebenen Punkten?

Answer 2

Das Problem ist: ist die Höhe gleich wie der Abstand zwischen S(10, 8, -20) und der Ebene ABCD?

Das trifft (vorausgesetzt: bisher ist alles richtig) auf die Länge der Höhe zu. Die Höhe selbst ist eine Strecke FS, die senkrecht auf der Ebene ABCD steht, und laut Überschrift fehlt dir F.

F findest du als Schnittpunkt einer Geraden durch S orthogonal zur Ebene ABC mit dieser Ebene.