A(2/3/0), B(2/0/4), C(-4/8/2)
$$ \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -4\\ 8\\2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\0 \\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\\3 \\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\11 \\-2 \end{pmatrix} $$
D ist schon mal richtig. :-)
Jetzt brauchst du einen Normalenvektor der Parallelogramm-Ebene E.
$$ \vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix} 0\\-3\\4 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -6\\5\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -26\\-24\\-18 \end{pmatrix}=-2\cdot\begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}$$
Normalenform der Ebene E:
$$ E: \begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix} 2\\3\\0 \end{pmatrix} =62$$
Gerade g durch S(10|8|-20), die orthogonal zu E verläuft:
$$ g: \vec x= \begin{pmatrix} 10\\8\\-20 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}$$
Schnittpunkt von g und E bestimmen, also den Lotfußpunkt L:
$$ \begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}\circ\left(\begin{pmatrix} 10\\8\\-20 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 13\\12\\9 \end{pmatrix}\right) =62 $$
$$ 46 +169r+144r+81r=62 \rightarrow r=\frac{8}{197} $$
r in g einsetzen, L bestimmen:
$$ \overrightarrow{OL} \approx \begin{pmatrix} 10.5279\\ 8.48731\\ -19.6345 \end{pmatrix} $$
Höhe ist Länge der Strecke SL.
$$ \overrightarrow{SL}=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OS} \approx \begin{pmatrix} 10.5279\\ 8.4873\\ -19.6345 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10\\ 8\\ -20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5279\\ 0.4873\\ 0.3655 \end{pmatrix} $$
$$ h=|\overrightarrow{SL}|\approx0.806058$$
