Warum ist das Ergebnis negativ? (Integral)

Question

1 Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{3}-6 \mathrm{x} \). Der Graph von \( \mathrm{f} \) ist in der Abbildung im Material dargestellt.
1.1 Berechnen Sie \( \int \limits_{0}^{2} f(x) d x \) und begründen Sie mithilfe der Abbildung, warum der Wert dieses Integrals negativ ist.

Ich habe -4 FE raus. Aber warum ist das Negativ?

Answer 1

Aloha :)

Dein Ergebnis \((-4)\) für das Integral ist richtig.

Den Integrand kannst du wie folgt faktorisieren:$$2x^3-6x=2x(x^2-3)=2x(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)$$Der Integrand hat also \(3\) Nullstellen:$$x_1=-\sqrt3\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_3=\sqrt3$$Zwischen den Nullstellen \(0\) und \(\sqrt3\) verläuft der Graph der Funktion unterhalb der \(x\)-Achse und liefert daher negative Beiträge zum Integral. Von \(\sqrt3\) bis \(2\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse und liefert positive Beiträge zum Integral:

$$\int\limits_0^2(2x^3-6x)\,dx=\underbrace{\int\limits_0^{\sqrt3}(2x^3-6x)\,dx}_{=-4,5\,<0}+\underbrace{\int\limits_{\sqrt3}^2(2x^3-6x)}_{+0,5\,>0}\,dx$$

Die durch das erste Integral beschriebene Fläche unterhalb der \(x\)-Achse ist größer als die durch das zweite Integral beschriebene Fläche oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist das Integral in Summe negativ.

Comments

Dein Ergebnis \((-4)\) für das Integral ist richtig.

Aber der Hinweis sollte schon gegeben werden, dass man dafür keinesfalls -4 "FE" schreiben darf.

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Warum darf man kein FE schreiben?

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Weil die Integralrechnung ursächlich erst mal nichts mit Flächenberechnung zu tun hat. (Man kann sie nur unter konkreten Anwendungsbedingungen mit Einschränkungen dafür verwenden.)

Flächen sind zudem nicht negativ.

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Das Integral von \(0\) bis \(2\) hat den Wert \((-4)\). Die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse ist aber \(5\,\mathrm{FE}\) groß. Warum ist das so?

Das Integral von \(0\) bis \(\sqrt3\) hat den Wert \((-4,5)\). Die Fläche zwischen der \(x\)-Achse und der Kurve unter dem Intervall ist der Betrag davon, also \(4,5\,\mathrm {FE}\). Das Integral von \(\sqrt3\) bis \(2\) hat den Wert \((0,5)\). Das Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse ist also \(0,5\,\mathrm{FE}\) groß. Die Gesamtfläche ist daher \(5\,\mathrm{FE}\) groß.

Wenn du Flächen berechnen möchtest, muss du darauf achten, das in dem Integrationsintervall keine Nullstellen liegen. Ist das doch der Fall, musst du das Integral an diesen Nullstellen aufteilen.

Du musst also unterscheiden, ob du das Integral oder die Fläche berechnen sollst. Das ist nicht ganz dasselbe.

Answer 2

Hallo

weil alle Werte der Funktion in dem Intervall negativ sind, und du summierst ja über f(x)*Δx

f(x) negativ, Δx positiv

Gruß lul

Comments

weil alle Werte der Funktion in dem Intervall negativ sind,

Nein, nur bis \( \sqrt{3} \).

Danach kommt noch eine kleinere positive Komponente.

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Danke Abakus, ich hab nicht aufgepasst.

lul