Grenzwert von x^(arcsin(x)) = 1?

Question

Problem/Ansatz:

Ist der Grenzwert von lim x->0 x^(arcsin(x)) = 1, weil arcsin(x) für x->0 gegen 0 konvergiert?

Comments

Alternativ: | arcsin(x)·log(x) | < | 2x | · | log(x) | → 0.

Answer 1

Aber damit hast du den Grenzwerttyp 0^0 und das

kann alles sein.

Du musst mehrmals de Hospital anwenden:

x^arcsin(x) = exp( arcsin(x) * ln(x) )    #

Und da exp stetig ist, kannst du den Grenzwert von arcsin(x) * ln(x)

bestimmen und einsetzen.

Und arcsin(x) * ln(x) für x gegen 0 ist vom Typ 0*-∞

Also betrachte  arcsin(x) /  (1/ln(x)) und wende de Hospital an. Gibt

-x ln²(x)  / √(1-x^2)

Der Nenner geht für x gegen o gegen 1, also nur den Zähler umschreiben

-ln²(x) / ( 1/x)  gibt wieder mit Hosp.

( 2ln(x) / x )  /  (-1/x^2)  =   -2x ln(x) . Nochmal umschreiben

-ln(x) /  (1/x)   und wieder Hosp.

(-2/x) / ( (-1/x^2)  = 2x . Und das geht für x gegen 0

auch gegen 0 . Und oben # einsetzen gibt

exp(0)=1