Question

Was passiert eigentlich bei negativen Wurzeln?

Zum Beispiel \( \sqrt{-4} \)

Was wäre das Ergebnis? Nur 2i oder 2i und -2i?

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Das ist alles nur eine Frage der Definition. Mit DER Wurzel einer Zahl bezeichnet man irgendwie immer eine spezielle ausgezeichnete Lösung einer quadratischen Gleichung der Form

$$ x^2 = a $$

Die Lösungen dieser Gleichung nennt man gelegentlich auch "Wurzeln von \( a \)". Eine einzelne "eine Wurzel von \( a \)".

Für \( a \ge 0 \) hat diese Gleichung zwei reelle Lösungen. Man hat sich dann darauf geeinigt die nicht-negative Lösung als DIE Wurzel von \( a \) zu bezeichnen. Der bestimmte Artikel verdeutlicht hierbei, dass es sich um eine - im Vergleich zu den anderen Wurzeln - ausgezeichnete Wurzel von \( a \) handelt.

Für \( a < 0 \) existieren auch zwei Lösungen. Diesmal sind diese aber komplex. Im Gegensatz zu den reellen Zahlen existiert aber keine Ordnung auf den komplexen Zahlen und man kann deshalb das Vorgehen der reellen Zahlen nicht einfach so ohne weiteres übertragen. Es gibt aber durchaus auch andere Herangehensweisen eine Wurzel auszuzeichnen, die keine Ordnung verlangen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Die "Argumente" "ist nicht erlaubt" und "geht nicht" ziehen nicht. Denn es geht, man muss es nur definieren und aufpassen. Jede Rechenregel etc. muss dann für diesen neuen Wurzelausdruck erst einmal gesondert überprüft werden, bevor man fröhlich darauf losrechnet. Aber wenn es einen bestimmten Grund gibt eine der (mehreren) komplexen Wurzeln auszuzeichenen und man mit gewissen Abstrichen leben kann, so kann man das ohne schlechtes Gewissen auch machen.

Answer 1

Rein mathematisch ist die Wurzel aus negativen Zahlen nicht erlaubt. Genau aus dem Problem, dass du zwei Lösungen angeben kannst.

Die Wurzel aus 4 ist als die nicht negative Zahl definiert, deren Quadrat 4 ergibt. Das ist genau 2 und nicht (-2).

Genau das gibt es aber bei komplexen Zahlen wie 2 + 3i oder 2 - 3i nicht. Wonach richtet sich denn dort, ob es eine positive oder negative Zahl ist?

Mathematisch solltest du also immer

z^2 = -4

schreiben, was die 2 von dir genannten Lösungen hat.

Vielleicht erinnerst du dich, dass die Mathematiker definiert haben

i^2 = -1 und nicht etwa i = √(-1)

Das ist ein kleiner, aber feiner Unterschied.

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Den Taschenrechner schert das aber nicht und gibt dir bei √(-1) als Ergebnis i aus.

Und auch in der angewandten Mathematik bei den e-Technikern wird in der Regel einfach so gerechnet, obwohl es mathematisch nicht korrekt ist.

Meist sagen die Professoren das aber auch vorher in der Vorlesung das aus Vereinfachungsgründen tatsächlich erlaubt wird auch aus negativen Zahlen und komplexen Zahlen die Wurzel zu ziehen, obwohl es mathematisch falsch ist.

So ist dann auch erlaubt aus i die Wurzel zu ziehen und aus Vereinfachungsgründen ist das √2/2 + √2/2·i

Answer 2

Aloha :)

Mit Wurzeln sind in der Regel die positiven Werte gemeint:$$\sqrt{-4}=\sqrt{4i^2}=2i\quad\text{oder}\quad\sqrt{-4}=\sqrt{4}\cdot{\sqrt{-1}}=2\cdot i$$Die Lösungen der Gleichung \(z^2=-4\) hingegen wären:$$z=\pm\sqrt{-4}=\pm2i$$

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Danke, das war sehr hilfreich!

Answer 3

√-4 = √(4*(-1)) = √4 *√(-1) = +-2*√(-1) = +-2*i

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Danke, das war sehr hilfreich!

Answer 4

Die Imaginäre Zahl i ist definiert durch i^2 = - 1. Für die Komplexen Zahlen gelten dieselben multiplikations und addidionsgesetze etc.

Nun hast du also (2i)^2 = 2^2 * i^2 = 4 * i^2 = - 4

Was passiert wenn du (-2i)^2 rechnest?

(-2i)^2 = (-1)^2 * 2^2 * i^2 = 4 * i^2 = -4

In beiden Fällen bekommst du -4 raus, also sollte die Lösungsmenge für wurzel-4  - 2i und 2i sein.