Achtung: Im komplexen Zahlenbereich ist die Wurzel nicht eindeutig definiert. Man kann aber
z =a^2 nach a auflösen und bekommt jedes Mal 2 Lösungen, die beide als a und somit als Wurzel von z aufgefasst werden können. Vorausgesetzt: z≠0.
-i = a^2 = (x+ iy)^2 a = x+iy gesucht.
-i = x^2 + 2xyi - y^2 Nun müssen Realteil und Imaginärteil gleich sein.
Daher 2 Gleichungen:
-1 = 2xy (I) → y = -1/(2x) (I)'
0 = x^2 - y^2 (II)
(I)' in (II) einsetzen
0 = x^2 - 1/(4x^2) |* x^2
0 = x^4 - 1/4
1/4 = x^4 |vierte Wurzel
± (1/4)^{1/4} = x
± 1/√2 = x
x1 = 1/√2 und y1 = -1/(2*(1/√2)) = -1/√2
x2 = -1/√2 und y2 = -1/(2*(-1/√2)) = 1/√2
a1 = (1/√2 , -1/√2)
a2 = (-1/√2 , 1/√2)
Nun kannst du bei den 'Wurzeln aus -a1=a2 und -a2=a1 wieder genau so vorgehen.
Einfacher wird es erst, wenn du Polarkoordinaten und Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen kennengelernt hast.
