Wie ermittle ich die Grenzen für dieses Integral?

Question

Ich möchte folgendes Integral lösen:

\( \int\limits_{1}^{2} \)\( \int\limits_{1}^{3} \) 1/(x+y) dxdy

Verwende TF mit ψ: I:=[1;2] x [1;3] —> ψ(I)

, (u,v) |-> (v+u, v-u)

und |det(J(u,v))| = |-2| = 2

Jetzt brauche ich noch die Grenzen von meiner Funktion, also muss ich ψ(I) bestimmen, aber ich bekomme dann ein falsches Ergebnis.

Hoffe auf einen Tipp, danke.

Comments

Hallo

die Frage verstehe ich nicht,   ψ(I) steht da doch  (u,v) |-> (v+u, v-u) du brauchst ψ(I) für [1;2] und [1;3

lul]

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Genau, aber ich bekomme immer nur ein falsches Bild von [0,1] x [2,5] raus.

Answer 1

Ohne Transformationssatz:

\(\begin{aligned} \int_{1}^{2}\int_{1}^{3}\frac{1}{x+y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y & =\int_{1}^{2}\left[\ln\left(x+y\right)\right]_{x=1}^{x=3}\mathrm{d}y\\ & =\int_{1}^{2}\left(\ln\left(3+y\right)-\ln\left(1+y\right)\right)\mathrm{d}y\\ & =\left[\left(3+y\right)\ln\left(3+y\right)-\left(1+y\right)\ln\left(1+y\right)-2\right]_{1}^{2}\\ & =5\ln5-4\ln4-3\ln3+2\ln2\\ & =\ln\frac{3125}{1728} \end{aligned}\)

Comments

Danke, aber ich hatte die Aufgabe mit Absicht so gestellt, um den TS anzuwenden. Ich brauche das Bild von meiner Substitutionsfunktion.

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Laut Transformationssatz ist

        \(\int_{\Phi(\Omega)}f(v)\mathrm{d}v = \int_\Omega f(\Phi(w))\cdot |\det(\operatorname{D}\Phi(w))|\mathrm{d}w\)

Wie stellst du dir die Transformation vor?

1. \(\Phi = \Psi\), \(f(v) = \frac{1}{x+y}\)
   
2. \(\Phi = \Psi\), \(f(\Phi(w))\cdot |\det(\operatorname{D}\Phi(w))| = \frac{1}{x+y}\)
3. \(\Phi = \Psi^{-1}\), \(f(v) = \frac{1}{x+y}\)
4. \(\Phi = \Psi^{-1}\), \(f(\Phi(w))\cdot |\det(\operatorname{D}\Phi(w))| = \frac{1}{x+y}\)