Wie integriert man dieses Integral?

Question

Aufgabe:

Partielle Integration

Hallo ich muss folgendes Integral integrieren:

 \( \int \limits_{0}^{\sqrt{e-1}} x \cdot \ln \left(1+x^{2}\right) d x \)

Problem/Ansatz:

Ich hab versucht es mit der Partiellen Integration zu lösen.

Ich habe folgendes raus:

u=ln(1+x²) u´=2x/1+x²

v=1/2x² v´=x

Setze ich nun alles ein erhalte ich die Stammfunktion:

ln(1+x^2)*1/2x²-1/2x² setze ich nun aber die Grenzen ein erhalte ich als Ergebnis 0. Allerdings lautet das Ergebnis 0.5. Habe ich die Stammfunktion möglicherweise falsche gebildet? Oder ist mir ein Rechenfehler unterlaufen?

Viele grüße

Comments

mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

Lösung: 0,5

---

Hallo erstmal vielen dank für deine Antwort.

Leider ist diese Website nicht sehr hilfreich, da sie dieses Integral erst substituiert und dann die partielle Integration macht. Dies ist mir leider nicht gestattet und ich muss das Integral nur mit der partiellen Integration lösen.

Answer 1

Hallo,

das geht dann so:

Answer 2

Aloha :)

Die Substitution ist eine gute Idee:$$u(x)\coloneqq1+x^2\quad;\quad\frac{du}{dx}=2x\implies dx=\frac{du}{2x}\quad;\quad u(0)=1\;;\;u(\sqrt{e-1})=e$$denn sie vereinfacht das Integral wie folgt:$$\int\limits_0^{\sqrt{e-1}}x\cdot\ln(1+x^2)\,dx=\frac12\int\limits_1^e\ln(u)\,du$$

Jetzt bietet sich partielle Integration an:$$\int\limits_1^e\underbrace{\frac12}_{=f'}\cdot\underbrace{\ln(u)}_{=g}\,du=\left[\underbrace{\frac u2}_{=f}\cdot\underbrace{\ln(u)}_{=g}\right]_1^e-\int\limits_1^e\underbrace{\frac u2}_{=f}\cdot\underbrace{\frac1u}_{=g'}\,du=\frac e2-\int\limits_1^e\frac{du}{2}=\frac e2-\left[\frac u2\right]_1^e=\frac12$$

Comments

Hallo wirklich vielen dank für diese Ausführliche Antwort! Mir ist leider von der Aufgabe vorgeschrieben ausschließlich die partielle Integration zu verwenden. Leider ist auch nur das Ergebnis mit 0,5 gegeben und kein Rechenweg.

Answer 3

\( \int \limits_{0}^{\sqrt{e-1}} x \cdot \ln \left(1+x^{2}\right) d x \)

\( \int x \cdot \ln \left(1+x^{2}\right) \cdot d x \)
\( u^{\prime}=x \rightarrow \rightarrow u=\frac{x^{2}}{2} \)
\( v=\ln \left(1+x^{2}\right) \rightarrow \rightarrow v^{\prime}=\frac{2 x}{1+x^{2}} \)
\( \int x \cdot \ln \left(1+x^{2}\right) \cdot d x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln \left(1+x^{2}\right)-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2 x}{1+x^{2}} \cdot d x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln \left(1+x^{2}\right)-\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \cdot d x \)
Weiter komme ich nicht. Onlinerechner machen dann aber mit Substitution.

Comments

Grosserloewe hat das weitergerechnet.

Es ist \(\frac{x^3}{1+x^2}=\frac{x^3+x-x}{1+x^2}=x-\frac{x}{1+x^2}\).

Nun denke man an die sogenannte logarithmische Ableitung:

Ein Ausdruch der Form \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) hat als Stammfunktion

\(\ln(f(x))\). Es ist also \(\int \frac{2x}{1+x^2}dx=\ln(1+x^2)\) ...