Wie integriert man 1/3x(lnx)^5

Question

Aufgabe:

Die aufgabe ist es \( \frac{1}{3x} \)×(lnx)^5 zu integrieren für den bereich von 1.5 - 6

Ich habe angefangen partiell zu integrieren doch kommt es mir so vor als wäre das der falsche weg. Denn es entsteht im endeffekt (lnx)^4 dann (lnx)^3 usw

Ich habe nun etwas mehr als eine seite Rechenweg bis das ganze geendet hat. Doch mein taschenrechner hat ein anderes ergebnis raus.

Gehe ich falsch vor?

Wie löst man es richtig und ist 8.73 die richtige Lösung?

Answer 1

Hallo,

Substituiere z= ln(x)

Lösung:

=\( \frac{\ln ^{6}(x)}{18}+C \)

Ist 8.73 die richtige Lösung? Ich habe 1.838 erhalten

Answer 2

Schaue explizit nach der Struktur

        \(g'(x) \cdot f(g(x))\)

die du für Substitution benötigst bevor du über partielle Integration nachdenkst.

In deinem Fall ist \(g(x) = \ln x\), also \(g'(x) = \frac{1}{x}\).

        \(\begin{aligned}&\int\frac{1}{3x}\left(\ln x\right)^5\mathrm{d}x\\ =& \frac{1}{3}\int\frac{1}{x}\left(\ln x\right)^5\mathrm{d}x\\ =& \frac{1}{3}\int g'(x)\cdot (g(x))^5\mathrm{d}x\end{aligned}\)