Wie integriert man mit ln

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{1.5}^{6} \) \( \frac{1}{3} \)(lnx)^5

Wie integriert man das?

Answer 1

Pertielle Integration:

       \(\int u'(x)\cdot v(x)\mathrm{d}x = u(x)\cdot v(x) - \int u(x)\cdot v'(x)\mathrm{d}x\)

        \(\begin{aligned} \int\frac{1}{3}\left(\ln x\right)^{5}\mathrm{d}x & =\frac{1}{3}\int\left(\ln x\right)^{5}\mathrm{d}x\\&=\frac{1}{3}\int\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\left(\ln x\right)^{5}}_{v}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{3}\left(\underbrace{x}_{u}\cdot\underbrace{\left(\ln x\right)^{5}}_{v}-\int\underbrace{x}_{u}\underbrace{5\left(\ln x\right)^{4}\cdot\frac{1}{x}}_{v'}\mathrm{d}x\right)\\ & =\frac{1}{3}\left(x\left(\ln x\right)^{5}-5\int\left(\ln x\right)^{4}\mathrm{d}x\right) \end{aligned}\)

Comments

Wenn ich das richtig sehe müsste man mit (lnx)^4 weiter machen über ^3, ^2, bis man das eigentliche integral hat. Wird das nicht endlos lang?

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https://www.integralrechner.de/

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28lnx%29%5E5

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Danke für den zweiten link. Genau das habe ich raus. Die Rechnung ging über eine volle Seite und die Zahlen waren so groß da dachte ich irgendwas müsste falsch sein.

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wozu partiell integrieren - substituieren von ln(x) durch u ist doch viel einfacher....

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Wird das nicht endlos lang?

Es ist

        \(\left(\ln x\right)^0 = 1\)

und somit

        \(\int\left(\ln x\right)^0\,\mathrm{d}x = \int 1\,\mathrm{d}x = x\)

substituieren von ln(x) durch u ist doch viel einfacher....

Substituieren ist einfach.

\(\begin{aligned} &  & u & =\ln x\\ & \implies & \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} & =\frac{1}{x}\\ & \implies & \mathrm{d}x & =x\mathrm{d}u\\ & \implies & \int\frac{1}{3}\left(\ln x\right)^{5}\mathrm{d}x & =\int\frac{1}{3}u^{5}x\mathrm{d}u \end{aligned}\)

Aber wie geht es jetzt weiter?

Bei \(\int\frac{1}{3x}\left(\ln x\right)^{5}\mathrm{d}x\) hätten sich das \(\frac{1}{x}\) und das \(x\) gegenseitig aufgehoben, aber bei \(\int\frac{1}{3}\left(\ln x\right)^{5}\mathrm{d}x\) fehlt die Ableitung der inneren Funktion als Faktor.