Aloha :)
$$f(x)=8x\cdot e^{-0,25x^2}$$Die Exponentialfunktion ist immer positiv. Allerdings wird der Faktor \(8x\) für \(x=0\) zu \(0\). Daher hat die Funktion eine Nullstelle bei \(x=0\).
$$f'(x)=8e^{-0,25x^2}+8x\cdot e^{-0,25x^2}(-0,5x)=e^{-0,25x^2}\cdot(8-4x^2)$$Wie bereits gesagt, ist die Exponentialfunktion immer positiv. Allerdings wird der Faktor in Klammern für \(x=\pm\sqrt2\) zu \(0\).
Zur Beantwortung der Frage nach der Monotonie, musst du das Vorzeichen der ersten Ableitung betrachten. Ist \(f'(x)>0\), so ist die Funktion streng monoton wachsend. Ist \(f'(x)<0\), so ist die Funktion streng monoton fallend.
~plot~ e^(-0.25x^2)*(8-4x^2) ; [[-8|8|-4|9]] ~plot~
Da wir oben die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt haben und \(f'(0)=8>0\) ist, ist \(f'(x)\) zwischen den beiden Nullstellen postitiv, also die Funktion \(f(x)\) selbst streng monoton wachsend. Links der ersten und rechts der zweiten Nullstelle ist \(f'(x)<0\) und die Funktion \(f(x)\) selbst streng monoton fallend.
