Gut, du hast also die Klammern ergänzt.
Für die Funktion gilt f(x)=f(-x), also liegt Symmetrie zur y-Achse vor. Damit reicht es es, zunächst einmal nur eine Seite (z.B. x≥0) zu betrachten. Der Bruch hat mit "1" einen konstanten Zähler. Der Nenner x²+a² hat an der Stelle x=0 den Wert a², und mit wachsendem x wächst der Nenner immer mehr. Damit wir der Bruch immer kleiner, und die Funktion ist für x≥0 monoton fallend. Für x<0 ist sie wegen der Symmetrie wachsend.