Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ
n³∗2n
durch 3 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Habe das ganze mit Induktion ausmultipliziert, weiß jetzt aber leider nicht, wie ich es zeige.

Vielen Dank schonmal im Voraus ❤️

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen zeigen, dass \((n^3+2n)\) für \(n\in\mathbb N\) durch \(3\) ohne Rest teilbar ist. Das ist gleichbedeutend mit der Behauptung, dass der folgende Ausdruck \(A(n)\) eine natürliche Zahl liefert:$$A(n)\coloneqq\frac{n^3+2n}{3}\in\mathbb N\quad;\quad n\in\mathbb N$$

Induktionsverankerung bei \(n=1\):$$A(n)=A(1)=\frac{1^3+2\cdot1}{3}=1\in\mathbb N\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$A(n+1)=\frac{(n+1)^3+2(n+1)}{3}=\frac{(n^3+3n^2+3n+1)+(2n+2)}{3}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n^3+2n)+(3n^2+3n+3)}{3}=\frac{n^3+2n}{3}+\frac{3(n^2+n+1)}{3}$$$$\phantom{A(n+1)}=\underbrace{A(n)}_{\in\mathbb N}+(n^2+n+1)\in\mathbb N\quad\checkmark$$Nach Induktionsvoraussetzung ist \(A(n)\in\mathbb N\). Wegen \(n\in\mathbb N\) ist auch \((n^2+n+1)\in\mathbb N\). Daher ist auch die Summe \(\in\mathbb N\).

Comments

Achsoo. Vielen Dank. Ich hatte nicht daran gedacht, dass ich die Bedingung "durch 3 teilbar" in die Funktion einbauen kann, sodass nur eine natürliche Zahl rauskommen muss. Danke für die schnelle Antwort

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Ist das nicht der Beweis für n³ + 2n und nicht n³ * 2n ?

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Ach, da steht ein \(\ast\)...

Ich hatte gerade Augentropfen genommen (Bildschrimarbeiter) und ein \(+\) gelesen.

Das Prinzip ist aber dasselbe, einen Ausdruck definieren, der durch \(3\) dividiert eine natürliche Zahl ergibt und den dann durch Induktion zeigen.

Answer 2

Induktion ist nicht erforderlich.

Man kann n³+2n als n³-n+3n schreiben.

n³-n=n(n²-1)= n(n-1)(n+1) lässt sich als Produkt der drei aufeinanderfolgenden Zahlen (n-1), n und (n+1) schreiben.

Einer der dreie Faktoren muss durch 3 teilbar sein, also auch ihr Produkt.

Aus 3|(n³-n) und 3|3n folgt auch 3|(n³-n+3n).

PS: Falls es doch n³*2n war: Gegenbeispiel n=2.

Comments

"Einer der dreie Faktoren muss durch 3 teilbar sein, also auch ihr Produkt."

Warum muss einer der drei faktoren durch 3 teilbar sein?

PS: Falls es doch n³*2n war: Gegenbeispiel n=2.

Ja ich vermute der Prof hat sich verschrieben. Mit * wäre es etwas zu leicht, einen Widerspruch zu finden.

Vielen Dank

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Warum muss einer der drei faktoren durch 3 teilbar sein?

Unter drei aufeienander folgenden natürlichen Zahlen ist immer genau eine dieser Zahlen durch 3 teilbar.

Betrachte

1,2,3

2,3,4

3,4,5

4,5,6

5,6,7

6,7,8

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Achso, ja klar. Macht Sinn. Vielen Dank für die Erklärung☺

Answer 3

Es ist \(n^3+2n=(n-1)n(n+1)+3n\).

Gemäß abakus ist \((n-1)n(n+1)\) durch 3 teilbar ....