Aufgabe:
\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{2^{k+1}+3^{k}}{4^{k-1}} \)
Zeige, dass die Reihe absolut konvergiert und bestimme ihren WertProblem/Ansatz:
Ich komme hier nicht weiter, könnte mir jemand eine Lösung zeigen mit Erklärung?
Aloha :)
Die Reihe kannst du in 2 geometrische Reihen aufteilen:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}+3^k}{4^{k-1}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^{k+2}+3^{k+1}}{4^{k}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^{k+2}}{4^{k}}+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3^{k+1}}{4^{k}}=2^2\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^{k}}{4^{k}}+3\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3^{k}}{4^{k}}$$$$=2^2\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac12\right)^k+3\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac34\right)^k=4\left(\frac{1}{1-\frac12}-1\right)+3\left(\frac{1}{1-\frac34}-1\right)$$$$=4\cdot\left(\frac{1}{\frac12}-1\right)+3\cdot\left(\frac{1}{\frac14}-1\right)=4\cdot1+3\cdot3=13$$
Hallo,
ich wollte nochmal kurz fragen, ob man nicht auch das Quotientenkriterium verwenden könnte ?
Mit dem Quotientenkriterium kannst du zeigen, dass die Reihe konvergiert, erhältst aber nicht ihren konkreten Grenzwert.
Ah okay, vielen dank.
Ich würde vor Anwendung des Quotientenkriteriums noch eine kleine Abschätzung vonrhemen:
$$\phantom{<}\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}+3^{k}}{4^{k-1}}<\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}+3^{k+1}}{4^{k-1}}<\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{3^{k+1}+3^{k+1}}{4^{k-1}}$$$$<\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2\cdot 3^{k+1}}{4^{k-1}}=\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{2\cdot 3^2\cdot 3^{k-1}}{4^{k-1}}=18\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{3^{k-1}}{4^{k-1}}=18\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3^{k}}{4^{k}}$$Jetzt kannst du mit dem Quotientenkreiterim zeigen, dass die Reihe konvergiert:$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{3^{k+1}}{4^{k+1}}}{\frac{3^k}{4^k}}=\frac{3^{k+1}}{4^{k+1}}\cdot\frac{4^k}{3^k}=\frac34<1\quad\checkmark$$
Teilsummen bilden:
2^(k+1)/4^(k-1) = 2*2^k/2^(2k) *4 = 8/2^k -> ∑ = (8/2^2)/(1-1/2) = 2/(1/2) = 4
3^k/4^(k-1) = 4*(3/4)^k -> ∑ = 4*(3/4)^2/ (1-3/4) = 9/4*4/1 = 9
-> Gesamtsumme = 13
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