Welche Symmetrie ergibt sich bei den angegebenen Funktionen g: ℝ → ℝ?

Question

Wie berechnet man sowas bzw. wie kann man erkennen ob die resultierende Funktion gerade, ungerade oder nichts davon ist?

Comments

Setz doch mal in die Funktion einen Wert a und den Wert -a ein:

ZB beim ersten

g(a) = f(a) + f(-a)

g(-a) = f(-a) + f(-(-a)) = f(-a) + f(a)

Hier gilt also für beliebige Werte a immer

g(a)=g(-a)

=> Das heißt g ist gerade.

Analog prüft man die anderen g.

Ungerade heißt g(a) = - g(-a)

Answer 1

\(g\) ist gerade genau dann wenn

        \(g(-x) = g(x)\)

für jedes \(x\in \mathbb{R}\) ist.

\(g\) ist ungerade genau dann wenn

      \(g(-x) = -g(x)\)

für jedes \(x\in \mathbb{R}\) ist.

Beispiel. Ist \(g(x) = f(x) - f(-x)\), dann ist

      \(\begin{aligned} g(-x) & =f(-x)-f(-(-x))\\ & =f(-x)-f(x)\\ & =-(-f(-x)+f(x))\\ & =-(f(x)-f(-x))\\ & =-g(x)\text{.} \end{aligned}\)

Answer 2

Wenn du alle Funktionen geprüft hast, kannst du mal schauen, ob ich das richtig gemacht habe.

Ich hätte bei drei Funktionen gerade heraus, bei einer Funktion ungerade und bei 2 Funktionen im Allgemeinen keines von beiden.