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\( \frac{1}{4} e^{i w e^{i \frac{\pi}{4}}-i \frac{3 \pi}{4}} \)

soll das Gleiche sein wie

\( \frac{1}{4}\left(e^{-\frac{\omega}{\sqrt{2}}} \cos \left(\frac{\omega}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right)-i e^{-\frac{w}{\sqrt{2}}} \sin \left(\frac{w}{\sqrt{2}}+\frac{\pi}{4}\right)\right) \)

Kann mir da jemand weiterhelfen?  

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Aloha :)

Die Euler-Formel lautet:$$e^{\pm ix}=\cos(x)\pm i\,\sin(x)$$

Hier wendest du diese zuerst bei der \(e\)-Funktion im Exponenten an:

$$\phantom{=}\frac14e^{i\omega e^{i\pi/4}-i\frac{3\pi}{4}}=\frac14e^{i\omega \left(\cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4\right)-i\frac{3\pi}{4}}=\frac14e^{i\omega \left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{i}{\sqrt2}\right)-i\frac{3\pi}{4}}=\frac14e^{\frac{i\omega}{\sqrt2}-\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{i\,3\pi}{4}}$$$$=\frac14e^{-\frac{\omega}{\sqrt2}+i\left(\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{3\pi}{4}\right)}=\frac14e^{-\frac{\omega}{\sqrt2}}\cdot e^{i\left(\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{3\pi}{4}\right)}$$

Jetzt wendest du die Euler-Formel ein weiters Mal an:$$=\frac14e^{-\frac{\omega}{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\omega}{\sqrt2}-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$$

Ergänzung nach Hinweis von lul:

Wegen den beiden Identitäten:$$\cos\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)=-\cos\left(x+\frac\pi4\right)\quad\text{und}\quad\sin\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)=-\sin\left(x+\frac\pi4\right)$$kann man das Ergebnis noch umformen:$$=-\frac14e^{-\frac{\omega}{\sqrt2}}\cdot\left(\cos\left(\frac{\omega}{\sqrt2}+\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\omega}{\sqrt2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)$$Da hat sich in deiner Lösung ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen.

Avatar von 152 k 🚀

Hallo

Zusatz cos(a-3/4π)=cos(a+1/2π), sin(a-3/4π)=-sin(a+π/2)

sieh es dir am Kreis an.

Gruß lul

Danke lul, ich habe das noch ergänzt.

Allerdings bleibt immer noch ein kleiner Vorzeichenfehler.

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