Gilt, dass (Z/pZ )* x (Z/qZ)* ist äquivalent zu (Z/pqZ)*?

Question

Soweit ich weiß gilt die Äquivalenz

(Z/pZ )* x (Z/qZ)*  ist äquivalent zu (Z/pqZ)*

für zwei Primzahlen p & q.

Leider finde ich diesen Satz in der Literatur nicht mehr. Weiß jdm wie er heißt oder wie ich ihn finden kann? Ich würde mir gern nochmal die Voraussetzungen etc anschauen, da ich mich nur noch wage an ihn erinnere.

Es wäre super wenn mir jdm helfen könnte :)

Comments

Hauptsatz über endlich erzeugte Abelsche Gruppen

LG :)

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Super!! Vielen, vielen Dank!

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Es heißt nicht "äquivalent" sondern isomorph.
Ferner muss \(p\neq q\) vorausgesetzt werden.

Answer 1

Hauptsatz über endlich erzeugte Abelsche Gruppen

Das kann man so nicht sagen. Dies gilt eher für die Aussage

(Z/pZ) x (Z/qZ)   ist isomorph zu (Z/pqZ), die sich auf

die additiven Gruppen bezieht. Hier geht es aber um die

Einheitengruppe:

sind \(R\) und \(S\) kommutative Ringe, dann gilt für die Einheiten

des direktes Produkes der Ringe:

\((R\times S)^*\cong R^*\times S^*\).

Das ist eine Aussage, die die Ringstrukturen und den Begriff

des direkten Produktes von Ringen voraussetzt,

und daher mit dem genannten Hauptsatz nichts zu tun hat.

Comments

\((R\times S)^*\cong R^*\times S^*\)

Erklärt allerdings nicht wie aus

(Z/pZ x Z/qZ)*

plötzlich

(Z/pqZ)*

wird. Der Fragesteller sucht vermutlich nach dem chinesischen Restsatz.

Z/pZ x Z/qZ ≅ Z/pqZ (für ggT(p,q)=1)

Dieser Ringisomorphismus induziert den Isom. der Einheitengruppen.

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Da hast du wohl Recht.

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Nö man kann hier auch mit dem Satz über endlich erzeugte Abelsche Gruppen argumentieren einfach aus dem Grund, dass man zeigt, dass diese EinheitenGRUPPE isomorph zur Automorphismengruppe der zyklischen Gruppe Cpq ist und aus dem Hauptsatz folgert, dass dann auch die entsprechende Isomorphie gelten muss.

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Welch ein "einfacher Weg" !

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Der Beweis dafür ist 6 Zeilen lang. Das spielt aber auch keine Rolle, weil sie einfach falsch lagen...muss man auch mal akzeptieren

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Wer lag wo falsch ?

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Dass seine Aussage nichts mit dem Hauptsatz über endliche erzeugte Abelsche Gruppen zu tun hat.

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Der Beweis dafür ist 6 Zeilen lang

Nur weil ein Beweis kurz ist, macht ihn das nicht automatisch einfach...

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Es ging hier ja auch nicht um den Beweis sondern aus welchem Satz es folgt. Und dort gibt es mehrer Möglichkeiten, dass eine eleganter als das andere, dennoch nicht falsch.

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Es ging hier aber auch nicht um den beweis, sondern ob man die Aussage aus dem Hauptsatz folgern kann oder nicht. Und das geht ohne probleme...

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Nein. Es geht darum, wie ein "normaler Student" bei dem ihm
vermittelten Lehrstoff sich die Aussge am einfachsten herleiten kann.
Dass es mehrere Möglichkeiten gibt, ist unumstritten.

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Wieder nicht verstanden.... Es ging mir lediglich um deine Aussage "Das kann man so nicht sagen"... Aber lassen wir es dabei, ist nur Zeitverschwendung gegen eine Wand zu reden.