unbekannte Grenzen Integral

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= 2x³-5x

Gebe den Wert des Integrals mit den Grenzen a und -a für f(x)dx an

Problem/Ansatz:

ich weiß, wie ich so eine Aufgabe löse, wenn nur eine Grenze unbekannt ist, hier sind aber beide Grenzen unbekannt, weswegen ich nicht weiß, wie ich vorgehen muss.

Comments

Setze a und - a in F(x) ein.

Du erhältst eine Lösung in a.

Answer 1

Aloha :)

Hier geht es darum, dass die Funktion \(f(x)\) punktsymmetrisch zum Urpsrung ist, denn:$$f(-x)=2\cdot(-x)^3-5\cdot(-x)=-2x^3+5x=-(2x^3-5x)=-f(x)$$

Daher ist die Funtion im Intervall \([-a|0]\) gegenüber dem Intervall \([0|a]\) genau am Urpsrung gespiegelt. Daher addieren sich beide Integrale zu Null:

$$\int\limits_{-a}^af(x)\,dx=\int\limits_{-a}^0f(x)\,dx+\int\limits_{0}^af(x)\,dx=0$$

~plot~ 2x^3-5x ; [[-2|2,5|-4|4]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

da die Funktion zum Ursprung punktsymmetrisch ist und von -a bis +a integriert wird, ist das Integral gleich Null.

Und nun die Rechnung:

\(\displaystyle\int_{-a}^a (2x^3-5x)dx\\=[0,5x^4-2,5x^2]_{-a}^a\\=0,5a^4-2,5a^2-(0,5(-a)^4-2,5(-a)^2)\\=0\)

:-)