Aufgabe:
Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen mit
P[{X=1}]= \( \frac{1}{4} \), P[{X=0}] = P[{X=2}]= \( \frac{3}{8} \)
P[{Y=0}]= 0, P[{Y=-1}] = P[{Y=1}]= \( \frac{1}{2} \).
Weiter sei die Zufallsvariable Z := XY-1 gegeben.
a) Geben Sie den Bildraum von Z an und überprüfen Sie die Zufallsvariablen Y und Z auf Unabhängigkeit sowie auf Unkorreliertheit.
b) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten von Y und Z.
Meine bisherige Lösung:
Der Bildraum von Z ist {-3, -2, -1, 0, 1}.
Außerdem ist
P[{Z=-3}] = P[{Z=1}] = \( \frac{3}{16} \)
P[{Z=0}] = P[{Z=-2}]= \( \frac{1}{8} \)
P[{Z=-1}] = \( \frac{3}{8} \)
Das sollte doch bisher so stimmen, oder? Ich habe bspw für P[{Z=-3}] folgendes gerechnet:
P[{Z=-3}] = P[{X=2}]∩P[{Y=-1}]= \( \frac{3}{8} \) * \( \frac{1}{2} \)
Außerdem habe ich gezeigt, dasss Z und Y nicht unabhängig sind, da
P[{Z=-2}∩{Y=1}] = P[∅] = 0 ≠ 1/8 * 1/2 = P[{Z=-2}]*P[{Y=1}]
Problem:
E[Z]=-1, E[Y]=0 habe ich bereits berechnet.
Für die Kovarianz benötige ich ja aber auch den Erwartungswert E[YZ], wie berechne ich den denn?
In der Aufgabenstellung stehen ja nicht die ω∈Ω, für die z.B. Y=1 ist.
Und da Y und Z nicht unabhängig sind, kann ich ja auch nicht E[YZ]=E[Y]*E[Z] rechnen.
Deshalb weiß ich nicht, wie ich den Erwartungswert von YZ berechnen soll.
